求内接于椭球(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1的最大长方体的体积V.下列解法过程中错误的是（）.A. V=(8abc)/(3sqrt(3))B. 设(x,y,z)是各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的顶点，则问题归结于求: (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1下，V=2x2y2z=8xyz的最大值.C. 问题可转化为拉格朗日函数为L(x,y,z,lambda)=xyz+lambda((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)-1)的极值问题D. V=(abc)/(3sqrt(3))

本题考查利用拉格朗日乘数法求条件极值来解决实际问题，解题思路是先根据题目条件建立目标函数和约束条件，再构造拉格朗日函数，通过求解拉格朗日函数的驻点得到极值点，最后计算出最大体积。

1. 分析选项B：
   设$(x,y,z)$是各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的顶点，由于长方体各面平行于坐标面，那么长方体在$x$轴方向的边长为$2x$，$y$轴方向的边长为$2y$，$z$轴方向的边长为$2z$，所以长方体体积$V = 2x\cdot2y\cdot2z = 8xyz$，同时该点$(x,y,z)$满足椭球方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，所以问题归结于求$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$下，$V = 8xyz$的最大值，选项B正确。
2. 分析选项C：
   为了求$V = 8xyz$在约束条件$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$下的最大值，构造拉格朗日函数应该是$L(x,y,z,\lambda)=8xyz+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$，而不是$L(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$，所以选项C错误。
3. 分析选项A和D：
   对拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=8xyz+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$求偏导数并令其为$0$：
   • $\frac{\partial L}{\partial x}=8yz+\frac{2\lambda x}{a^2}=0$ ①；
   • $\frac{\partial L}{\partial y}=8xz+\frac{2\lambda y}{b^2}=0$ ②；
   • $\frac{\partial L}{\partial z}=8xy+\frac{2\lambda z}{c^2}=0$ ③；
   • $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$ ④。
     由①得$\lambda=-4a^2\frac \frac{yz}{x}$，由②得$\lambda=-4b^2 \frac{xz}{y}$，由③得$\lambda=-4c^2 \frac{xy}{z}$。
     则$-4a^2 \frac{yz}{x}=-4b^2 \frac{xz}{y}$，化简可得$a^2y^2 = b^2x^2$，即$y=\frac{b}{a}x$；同理可得$z=\frac{c}{a}x$。
     将$y=\frac{b}{a}x$，$z=\frac{c}{a}x$代入④式可得：
     $\frac{x^2}{a^2}+\frac{(\frac{b}{a}x)^2}{b^2}+\frac{(\frac{c}{a}x)^2}{c^2}-1=0$，
     $\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{a^2}-1=0$，
     $\frac{3x^2}{a^2}=1$，
     解得$x=\frac{a}{\sqrt{3}}$（$x\gt0$），则$y=\frac{b}{\sqrt{3}}$，$z=\frac{c}{\sqrt{3}}$。
     所以最大体积$V = 8xyz = 8\times\frac{a}{\sqrt{3}}\times\frac{b}{\sqrt{3}}\times\frac{c}{\sqrt{3}}=\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$，选项A正确，选项D错误。