题目
.1-8 已知质点的运动方程为 =2ti+(2-(t)^2)j ,式中r的单位为m,t的单位-|||-为s.求:(1)质点的轨迹;(2) t=0 及 t=2s 时质点的位矢;(3)由 t=0 到 t=2s-|||-时质点的位移 Delta r 和径向增量 Delta r ;×(4)2s内质点所经过的路程s.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求质点的轨迹
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，其中 $r$ 的单位为 m，$t$ 的单位为 s。为了求质点的轨迹，我们需要消去时间 $t$，得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。
$x=2t$，$y=2-t^2$，消去 $t$，得到 $y=2-(x/2)^2$，即 $y=2-0.25x^2$。这是一个抛物线方程，轨迹如图(a)所示。
步骤 2：求 t=0 及 t=2s 时质点的位矢
将 $t=0$ 和 $t=2$ 分别代入运动方程，可得相应位矢分别为 ${r}_{0}=2j$，${r}_{2}=4i-2j$。图(a)中的 P、Q 两点，即为 $t=0$ 和 $t=2$ 时质点所在位置。
步骤 3：求由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 $\Delta r$ 和径向增量 $\Delta r$
由位移表达式，得 $\Delta r={r}_{2}-{r}_{0}=({x}_{2}-{x}_{0})i+({y}_{2}-{y}_{0})i=4i-4j$。其中位移大小为 $|\Delta r|=\sqrt {{(\Delta x)}^{2}+{(\Delta y)}^{2}}=5.66m$。而径向增量为 $\Delta r=\Delta {r}_{1}=|{r}_{2}|-|{r}_{0}|=\sqrt {{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}-\sqrt {{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=2.47m$。
步骤 4：求 2s 内质点所经过的路程 s
如图(b)所示，所求 $\Delta S$ 即为图中 PQ 段长度，先在其间任意处取 AB 微元 ds，则 $ds=\sqrt {{(dx)}^{2}+{(dy)}^{2}}$，由轨道方程可得 dy=-0.5xdx，代入 ds，则 2s 内的路程为 $s={\int }_{P}^{\alpha }ds={\int }_{0}^{4}\dfrac {1}{2}\sqrt {4+{x}^{2}}dx=5.91m$。
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，其中 $r$ 的单位为 m，$t$ 的单位为 s。为了求质点的轨迹，我们需要消去时间 $t$，得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。
$x=2t$，$y=2-t^2$，消去 $t$，得到 $y=2-(x/2)^2$，即 $y=2-0.25x^2$。这是一个抛物线方程，轨迹如图(a)所示。
步骤 2：求 t=0 及 t=2s 时质点的位矢
将 $t=0$ 和 $t=2$ 分别代入运动方程，可得相应位矢分别为 ${r}_{0}=2j$，${r}_{2}=4i-2j$。图(a)中的 P、Q 两点，即为 $t=0$ 和 $t=2$ 时质点所在位置。
步骤 3：求由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 $\Delta r$ 和径向增量 $\Delta r$
由位移表达式，得 $\Delta r={r}_{2}-{r}_{0}=({x}_{2}-{x}_{0})i+({y}_{2}-{y}_{0})i=4i-4j$。其中位移大小为 $|\Delta r|=\sqrt {{(\Delta x)}^{2}+{(\Delta y)}^{2}}=5.66m$。而径向增量为 $\Delta r=\Delta {r}_{1}=|{r}_{2}|-|{r}_{0}|=\sqrt {{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}-\sqrt {{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=2.47m$。
步骤 4：求 2s 内质点所经过的路程 s
如图(b)所示，所求 $\Delta S$ 即为图中 PQ 段长度，先在其间任意处取 AB 微元 ds，则 $ds=\sqrt {{(dx)}^{2}+{(dy)}^{2}}$，由轨道方程可得 dy=-0.5xdx，代入 ds，则 2s 内的路程为 $s={\int }_{P}^{\alpha }ds={\int }_{0}^{4}\dfrac {1}{2}\sqrt {4+{x}^{2}}dx=5.91m$。