34 .［判断题］收敛数列的极限是唯一的。A. 错误B. 正确

考查要点：本题主要考查学生对收敛数列极限唯一性的理解，属于数学分析中的基本概念。

解题核心思路：
收敛数列的极限唯一性是数学分析中的一个重要定理。其核心在于极限的定义本身排除了存在多个极限的可能性。若假设存在两个不同的极限，通过三角不等式或反证法可以推导出矛盾，从而证明极限必须唯一。

破题关键点：

1. 明确收敛数列的定义：数列项无限趋近于某个确定的实数。
2. 理解极限的唯一性是定义的直接推论，而非额外需要证明的性质。

收敛数列的极限唯一性证明思路：

1. 假设存在两个极限：设数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L_1$ 和 $L_2$，且 $L_1 \neq L_2$。
2. 利用极限定义构造矛盾：
   • 根据极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$ 使得当 $n > N_1$ 时，$|a_n - L_1| < \varepsilon/2$；
   • 同理，存在 $N_2$ 使得当 $n > N_2$ 时，$|a_n - L_2| < \varepsilon/2$。
3. 结合三角不等式：
   取 $n > \max\{N_1, N_2\}$，则
   $|L_1 - L_2| \leq |a_n - L_1| + |a_n - L_2| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon.$
4. 推导矛盾：
   由于 $\varepsilon$ 可任取，当 $\varepsilon < |L_1 - L_2|$ 时，上式不成立，矛盾。因此假设不成立，极限唯一。