题目

17.(12分)-|||-记 Delta ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-|||-sin Csin (A-B)=sin Bsin (C-A).-|||-(1)证明: (a)^2=(b)^2+(c)^2;-|||-(2)若 a=5 . cos A=dfrac (25)(31), 求 Delta ABC 的周长.

题目解答

【答案】

(1)见解析；(2)14

【解析】

(1)由题意，$\sin C\left(\sin A\cos B-\cos A\sin B\right)=\sin B\left(\sin C\cos A-\cos C\sin A\right)$，

$\therefore $由正弦定理得，$c\left(a\cos B-b\cos A\right)=b\left(c\cos A-a\cos C\right)$，

$\therefore $$ca\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$，

即$ca\cos B=2bc\cos A-ab\cos C$

又由余弦定理得，$ca\cdot \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=2bc\cdot \dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}-ab\cdot \dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，

整理得$\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}={b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}-\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}$，

$\therefore $$2{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}$；

(2)由(1)知，$2{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}$，

$\therefore \cos A=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{2{a}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{25}{31}$，

$\because $$a=5$，

$\therefore 2bc=31$，

又${c}^{2}+{b}^{2}=2{a}^{2}=50$，

$\therefore {\left(b+c\right)}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}+2bc=50+31=81$，

$\therefore b+c=9$，

$\therefore a+b+c=5+9=14$.

即$\triangle ABC$的周长为$14$..

考查要点：本题主要考查三角形中的正弦定理、余弦定理的应用，以及代数方程的变形与求解能力。

解题思路：

破题关键：

第（1）题

展开三角函数表达式

根据题意，展开$\sin(A-B)$和$\sin(C-A)$：
$\sin C \cdot (\sin A \cos B - \cos A \sin B) = \sin B \cdot (\sin C \cos A - \cos C \sin A)$

应用正弦定理

由正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$，代入得：
$c \cdot (a \cos B - b \cos A) = b \cdot (c \cos A - a \cos C)$

整理方程

展开并整理：
$ca \cos B - bc \cos A = bc \cos A - ab \cos C$
移项得：
$ca \cos B = 2bc \cos A - ab \cos C$

应用余弦定理

将$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$等代入，化简后得：
$2a^2 = b^2 + c^2$

第（2）题

利用已知条件

由$2a^2 = b^2 + c^2$且$a=5$，得：
$b^2 + c^2 = 50$

结合余弦定理

已知$\cos A = \frac{25}{31}$，代入余弦定理：
$\frac{25}{31} = \frac{50 - 25}{2bc} \implies 2bc = 31$

求$b + c$

由$(b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc$，得：
$(b + c)^2 = 50 + 31 = 81 \implies b + c = 9$

计算周长

周长为：
$a + b + c = 5 + 9 = 14$