18.计算二重积分int int _(D) x dxdy，其中D是由曲线y=|x^2-4|与直线y=3x所围成的闭区域

为了计算二重积分$\iint_D x \, dx \, dy$，其中$D$是由曲线$y = |x^2 - 4|$与直线$y = 3x$所围成的闭区域，我们需要遵循以下步骤： 1. **确定交点：** 曲线$y = |x^2 - 4|$可以写为： \[ y = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{如果 } |x| \geq 2 \\ 4 - x^2 & \text{如果 } |x| < 2 \end{cases} \] 我们需要找到$y = 3x$与$y = x^2 - 4$（对于 $|x| \geq 2$）以及$y = 4 - x^2$（对于 $|x| < 2$）的交点。 - 对于 $y = x^2 - 4$： \[ 3x = x^2 - 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 \implies x = 4 \text{ 或 } x = -1 \] 由于 $|x| \geq 2$，我们有 $x = 4$。对应的 $y$-坐标是 $y = 3 \cdot 4 = 12$。因此，交点是 $(4, 12)$。 - 对于 $y = 4 - x^2$： \[ 3x = 4 - x^2 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0 \implies x = -4 \text{ 或 } x = 1 \] 由于 $|x| < 2$，我们有 $x = 1$。对应的 $y$-坐标是 $y = 3 \cdot 1 = 3$。因此，交点是 $(1, 3)$。 另外，由于 $y = 3x$是奇函数，且区域关于原点对称，我们还需要考虑交点 $(-1, -3)$。 2. **描述区域 $D$：** 区域 $D$ 可以分为两个部分： - $D_1$：由 $y = 4 - x^2$，$y = 3x$，和 $x = -1$ 所围成的区域。 - $D_2$：由 $y = x^2 - 4$，$y = 3x$，和 $x = 4$ 所围成的区域。 3. **设置二重积分：** 由于被积函数 $x$ 是奇函数，且区域 $D$ 关于原点对称，积分在对称区域上的值将相互抵消。因此，我们只需要计算 $D_2$ 上的积分，然后乘以2。 对于 $D_2$，积分的极限是： \[ 1 \leq x \leq 4 \quad \text{和} \quad x^2 - 4 \leq y \leq 3x \] 二重积分是： \[ \iint_D x \, dx \, dy = 2 \int_1^4 \int_{x^2-4}^{3x} x \, dy \, dx \] 4. **计算内积分：** \[ \int_{x^2-4}^{3x} x \, dy = x \left[ y \right]_{x^2-4}^{3x} = x \left( 3x - (x^2 - 4) \right) = x \left( 3x - x^2 + 4 \right) = 3x^2 - x^3 + 4x \] 5. **计算外积分：** \[ 2 \int_1^4 \left( 3x^2 - x^3 + 4x \right) \, dx = 2 \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_1^4 \] 在极限处计算： \[ \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_1^4 = \left( 4^3 - \frac{4^4}{4} + 2 \cdot 4^2 \right) - \left( 1^3 - \frac{1^4}{4} + 2 \cdot 1^2 \right) \] \[ = \left( 64 - 64 + 32 \right) - \left( 1 - \frac{1}{4} + 2 \right) = 32 - \left( 3 - \frac{1}{4} \right) = 32 - \frac{11}{4} = \frac{128}{4} - \frac{11}{4} = \frac{117}{4} \] 因此，二重积分是： \[ 2 \cdot \frac{117}{4} = \frac{234}{4} = \frac{117}{2} \] 6. **考虑对称性：** 由于被积函数 $x$ 是奇函数，且区域 $D$ 关于原点对称，积分在对称区域上的值将相互抵消。因此，总积分是： \[ \iint_D x \, dx \, dy = \frac{117}{2} - \frac{117}{2} = 0 \] 最终答案是： \[ \boxed{0} \]