题目

8= a “)•上=] / 衣=]Ex 21:设 EcRri.若 E / 且 F g R 试证明 dE 丰 0.证明:(本题等价于证明0中既开又闭的集合只能是0或Rn}若8E = J则0 = U (Ecy从而E既开又闭.设E C ,E弄仇且E既开又闭,下证E =用・若£、r仇则存在珀C E因为E既 开又闭.所以罗也既开又闭,从而巾是£「的内点,则存在<5。>0使得0(rro・<5u)U£:令5“ = sup 8O(^.6)GEc若& = +x・则Ec = RE = Q与E羊0矛盾,因此犷< +x.又由于F是闭集,因此 闭球77血0) C E-考虑球面S(%&)上的点z €比由罗是开集,t是内点,故存在 几>0,使得O而S(m『)C IJ 0(冬必)以及5(X0. n是有界闭集,由HciusBorcl有限子覆盖定理,存在有限个心使得tnS(;ro0)U (J。(讥JU 矿<=1令夕= min(抵』=12…沖)则。(珈^ +巧匸罗,这与犷的定义矛盾.说明0 = 0, 即E = M・Ex 22:设Gi(2是R”中互不相交的开奧,试证明:G Q G? = 0・证明:(方法一直接法)对任意牝€ Gj由于G]是开集,目此存在<5o>0.使得0(切九)CG1,又由于nG2 = 0,因此O(mdo) nG2 = 0,也即久学G2?所以Gi AG2 =必(方法二里证法) _若G]Q^2*0・取恥GG1Q百2、由于Gi是开集,因此存在拆〉()•使得O (^o,<5i)cGi, 又由九C 6,因此对任意/ > 0.有0(%S) n G2丰0,特别地兰虑d =儿有O(xq.6) C Gi nc2丰0・这与已知条件相矛盾,因此Gi OG2 = 0.本题要点提示:乂 € F o诚5 > 0.0(, ) Q E * 0・Ex 23:设GCRJ若对任意的ECR有GnEcEF,试证明G是开集.证明:(方法一乂直接法)取 由条件 GCiE cTTrTT;知 Gn~G^r77z = 0 = 0 因此乔c Gc从而,是闭集,也即C:是开集.(方法二^反证法)若G不是开.集,则存在却WG口。不是G的内点,即对任意6>0,0(却』)2*0・考 虑 = 1.取却 € 0(珈(Si) VGC.考虑址=uiin(L/2.(xi.xo)).取題 € 0(叫&)门①,依此 类推,可以得到点列 % 有知一也如£少:取E = ("仏…)则G7TE =0,但GQ左 至少含有点r.这与条件矛盾,说明G屋开集.注:啡实上有:设GCR-,则C;是开集的充分必要条件是对任惫的ECRJ有GqEu TTtFe. _ _证:设GCR•是开集,对任意的ECR设牝WGCF.则珈€G.z€E由工€左知 存在E的点列九使得xn 一 g而xoCG,因此存在<5>0,使得O(gd) C G.因此n充分 大后 % € EQO(to・6,所以 rro G CUTE.故 GAEc GrTT.Ex 24:设心几c#是实数.且P(X. If) = + 打/ + cxy * 如试问点集{(禺妙):P(讪=0)有内点吗?

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题目解答

答案

解:若D : P(x.y) = 0}存在内点,设(工0伽)是其内点,则对固定的"值yof D = ar2yi+bry^cryo+dik)作为关F 丁的二次函数,必须在伽,如的某个5 >()邻域中恒为零, 因此有= 0•朋+ e“n = O.df/o = 0.在(300)的6 > 0邻域中再任取一点(牝仙)』丰恥、 同样有= Q疋显+加诟+3/1 +如 作为关J' T的二次函数在一个X的邻域恒为 零,因此有=(),奶+助=()、加=0,综合起来必须“ = b = c = 〃 = O・越然这时所给 出的点集是R2,除了这种持殊情形所给的点集不可能有内点.Ex 25:设 f;RJ R\ 令Gi = {(©g): y < /(化)}, 6 = {(矢y): y > /(©)}・