题目
已知函数 f(x, y)= x^2 + y^2 ，求在点 (1, 1) 处沿向量 vec(u) = ( (1)/(sqrt(2)), (1)/(sqrt(2)) ) 的方向导数:A. 2sqrt(2)B. sqrt(2)C. 4D. 2
已知函数 $ f(x, y)= x^2 + y^2 $ ，求在点 $ (1, 1) $ 处沿向量 $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $ 的方向导数:
A. $2\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $4$
D. $2$
题目解答
答案
A. $2\sqrt{2}$
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。根据偏导数的定义，我们有：
\[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x \]
\[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y \]
步骤 2：在点 $(1, 1)$ 处计算偏导数值
接下来，我们需要在点 $(1, 1)$ 处计算偏导数的值：
\[ f_x(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2 \]
\[ f_y(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2 \]
步骤 3：计算方向导数
最后，我们使用方向导数的公式来计算函数 $f(x, y)$ 在点 $(1, 1)$ 处沿向量 $\vec{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ 的方向导数。方向导数的公式为：
\[ D_{\vec{u}} f(x, y) = f_x(x, y) u_1 + f_y(x, y) u_2 \]
将 $f_x(1, 1)$，$f_y(1, 1)$，$u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$，和 $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 代入公式，我们得到：
\[ D_{\vec{u}} f(1, 1) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]
首先，我们需要计算函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。根据偏导数的定义，我们有：
\[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x \]
\[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y \]
步骤 2：在点 $(1, 1)$ 处计算偏导数值
接下来，我们需要在点 $(1, 1)$ 处计算偏导数的值：
\[ f_x(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2 \]
\[ f_y(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2 \]
步骤 3：计算方向导数
最后，我们使用方向导数的公式来计算函数 $f(x, y)$ 在点 $(1, 1)$ 处沿向量 $\vec{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ 的方向导数。方向导数的公式为：
\[ D_{\vec{u}} f(x, y) = f_x(x, y) u_1 + f_y(x, y) u_2 \]
将 $f_x(1, 1)$，$f_y(1, 1)$，$u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$，和 $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 代入公式，我们得到：
\[ D_{\vec{u}} f(1, 1) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]