题目
已知函数f(x)=x-dfrac(2)(x).(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；(2)若对∀xin(-∞,0)，不等式f(2^x)leqslant mboldsymbol(⋅)2^x-5恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数$f(x)=x-\dfrac{2}{x}.$
$(1)$用函数单调性的定义证明$f(x)$在区间$(0,+∞)$上单调递增；
$(2)$若对$∀x\in(-∞,0)$，不等式$f(2^{x})\leqslant m\boldsymbol{⋅}2^{x}-5$恒成立，求实数$m$的取值范围．
$(1)$用函数单调性的定义证明$f(x)$在区间$(0,+∞)$上单调递增；
$(2)$若对$∀x\in(-∞,0)$，不等式$f(2^{x})\leqslant m\boldsymbol{⋅}2^{x}-5$恒成立，求实数$m$的取值范围．
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明$f(x)$在区间$(0,+∞)$上单调递增
设$0因为$00$，所以$f(x_1)-f(x_2)<0$，即$f(x_1)步骤 2：求实数$m$的取值范围
$f(2^{x})\leqslant m\cdot 2^{x}-5$即为$2^{x}-\dfrac{2}{2^{x}}\leqslant m\cdot 2^{x}-5$，化为$m-1\geqslant \dfrac{5-2^{-x}}{2^{x}-2^{-x}}$在$x<0$时恒成立。
令$y=-\dfrac{2}{(2^{x})^{2}}+\dfrac{5}{2^{x}}=-2(\dfrac{1}{2^{x}}-\dfrac{5}{4})^{2}+\dfrac{25}{8}$，当$2^{x}=\dfrac{4}{5}$，即$x=\log_{2}\dfrac{4}{5}<0$时，$y$取得最大值$\dfrac{25}{8}$。
所以$m-1\geqslant \dfrac{25}{8}$，即$m\geqslant \dfrac{33}{8}$。
设$0
$f(2^{x})\leqslant m\cdot 2^{x}-5$即为$2^{x}-\dfrac{2}{2^{x}}\leqslant m\cdot 2^{x}-5$，化为$m-1\geqslant \dfrac{5-2^{-x}}{2^{x}-2^{-x}}$在$x<0$时恒成立。
令$y=-\dfrac{2}{(2^{x})^{2}}+\dfrac{5}{2^{x}}=-2(\dfrac{1}{2^{x}}-\dfrac{5}{4})^{2}+\dfrac{25}{8}$，当$2^{x}=\dfrac{4}{5}$，即$x=\log_{2}\dfrac{4}{5}<0$时，$y$取得最大值$\dfrac{25}{8}$。
所以$m-1\geqslant \dfrac{25}{8}$，即$m\geqslant \dfrac{33}{8}$。