设 A 为 4 阶对称矩阵 , 且 A2+A=0, 若 A 的秩为 3, 则 A 相似于 () A. ⎡⎣⎢⎢⎢1 11 0⎤⎦⎥⎥⎥ B. ⎡⎣⎢⎢⎢1 1−1 0⎤⎦⎥⎥⎥ C. ⎡⎣⎢⎢⎢1 −1−1 0⎤⎦⎥⎥⎥ D. ⎡⎣⎢⎢⎢−1 −1−1 0⎤⎦⎥⎥⎥

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、矩阵方程与特征值的关系，以及矩阵相似标准形的判断。

解题核心思路：

1. 利用矩阵方程确定特征值范围：由 $A^2 + A = 0$ 可得特征值满足 $\lambda^2 + \lambda = 0$，即 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -1$。
2. 结合秩分析特征值分布：实对称矩阵可对角化，秩为 $3$ 说明特征值 $0$ 的代数重数为 $1$，其余 $3$ 个特征值为 $-1$。
3. 判断相似标准形：矩阵相似于对角矩阵，对角线元素为其特征值，因此正确选项应有 $3$ 个 $-1$ 和 $1$ 个 $0$。

破题关键点：

• 实对称矩阵可对角化，特征值为实数。
• 秩与零特征值的关系：秩为 $3$ 说明 $0$ 的代数重数为 $1$。
• 矩阵方程限制特征值：特征值只能是 $0$ 或 $-1$。

1. 分析矩阵方程
   由 $A^2 + A = 0$ 得 $A(A + E) = 0$，说明 $A$ 和 $A + E$ 线性相关且不可逆（否则矛盾）。

2. 确定特征值范围
   设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2 + \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -1$。

3. 结合秩确定特征值分布

   • 实对称矩阵可对角化，特征值重数等于几何重数。
   • 秩为 $3$ 说明 $0$ 的几何重数为 $1$，故代数重数也为 $1$。
   • 剩余 $3$ 个特征值必为 $-1$，因此 $A$ 的特征值为 $-1, -1, -1, 0$。

4. 匹配选项
   选项中只有 D 的特征值为 $-1, -1, -1, 0$，因此 $A$ 相似于选项 D。