题目
26.[判断题]设随机变量X具有以下的分布律：}X&-2&-1&0&2&3P_(X)&(1)/(10)&(3)/(10)&(2)/(5)&(1)/(10)&(1)/(10)若Y=(X-1)^2则PY=4=(2)/(5).
26.[判断题]
设随机变量X具有以下的分布律：
$\begin{cases}X&-2&-1&0&2&3\\P_{X}&\frac{1}{10}&\frac{3}{10}&\frac{2}{5}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{cases}$
若$Y=(X-1)^{2}$则$P\{Y=4\}=\frac{2}{5}$.
题目解答
答案
为了确定 $ P\{Y=4\} $ 其中 $ Y = (X-1)^2 $，我们首先需要找到使 $ Y = 4 $ 的 $ X $ 的值。我们从解方程 $ (X-1)^2 = 4 $ 开始。
对两边取平方根，我们得到：
\[ X-1 = \pm 2 \]
这给出了 $ X $ 的两个可能解：
\[ X-1 = 2 \quad \text{或} \quad X-1 = -2 \]
\[ X = 3 \quad \text{或} \quad X = -1 \]
接下来，我们使用给定的 $ X $ 的分布律来找到 $ X = 3 $ 和 $ X = -1 $ 的概率：
\[ \begin{cases} X & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ P_X & \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & \frac{2}{5} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{cases} \]
从分布律中，我们看到：
\[ P\{X = -1\} = \frac{3}{10} \]
\[ P\{X = 3\} = \frac{1}{10} \]
由于这些事件是互斥的（$ X $ 不能同时为 $-1$ 和 $3$），我们通过将它们的 individual 概率相加来找到 $ P\{Y = 4\} $：
\[ P\{Y = 4\} = P\{X = -1\} + P\{X = 3\} \]
\[ P\{Y = 4\} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \]
\[ P\{Y = 4\} = \frac{4}{10} \]
\[ P\{Y = 4\} = \frac{2}{5} \]
因此，给定的陈述是正确的。答案是：
\[
\boxed{\frac{2}{5}}
\]
解析
步骤 1：确定 $Y = 4$ 的条件
为了确定 $P\{Y=4\}$，我们首先需要找到使 $Y = 4$ 的 $X$ 的值。根据题目，$Y = (X-1)^2$，所以我们需要解方程 $(X-1)^2 = 4$。
步骤 2：解方程 $(X-1)^2 = 4$
对两边取平方根，我们得到：\[ X-1 = \pm 2 \] 这给出了 $X$ 的两个可能解：\[ X-1 = 2 \quad \text{或} \quad X-1 = -2 \] \[ X = 3 \quad \text{或} \quad X = -1 \]
步骤 3：计算 $P\{Y=4\}$
根据给定的 $X$ 的分布律，我们找到 $X = 3$ 和 $X = -1$ 的概率：\[ \begin{cases} X & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ P_X & \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & \frac{2}{5} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{cases} \] 从分布律中，我们看到：\[ P\{X = -1\} = \frac{3}{10} \] \[ P\{X = 3\} = \frac{1}{10} \] 由于这些事件是互斥的（$X$ 不能同时为 $-1$ 和 $3$），我们通过将它们的 individual 概率相加来找到 $P\{Y = 4\}$：\[ P\{Y = 4\} = P\{X = -1\} + P\{X = 3\} \] \[ P\{Y = 4\} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \] \[ P\{Y = 4\} = \frac{4}{10} \] \[ P\{Y = 4\} = \frac{2}{5} \]
为了确定 $P\{Y=4\}$，我们首先需要找到使 $Y = 4$ 的 $X$ 的值。根据题目，$Y = (X-1)^2$，所以我们需要解方程 $(X-1)^2 = 4$。
步骤 2：解方程 $(X-1)^2 = 4$
对两边取平方根，我们得到：\[ X-1 = \pm 2 \] 这给出了 $X$ 的两个可能解：\[ X-1 = 2 \quad \text{或} \quad X-1 = -2 \] \[ X = 3 \quad \text{或} \quad X = -1 \]
步骤 3：计算 $P\{Y=4\}$
根据给定的 $X$ 的分布律，我们找到 $X = 3$ 和 $X = -1$ 的概率：\[ \begin{cases} X & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ P_X & \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & \frac{2}{5} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{cases} \] 从分布律中，我们看到：\[ P\{X = -1\} = \frac{3}{10} \] \[ P\{X = 3\} = \frac{1}{10} \] 由于这些事件是互斥的（$X$ 不能同时为 $-1$ 和 $3$），我们通过将它们的 individual 概率相加来找到 $P\{Y = 4\}$：\[ P\{Y = 4\} = P\{X = -1\} + P\{X = 3\} \] \[ P\{Y = 4\} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \] \[ P\{Y = 4\} = \frac{4}{10} \] \[ P\{Y = 4\} = \frac{2}{5} \]