题目
5【填空题】母线平行于y轴且经过曲线{}2x^2+y^2+z^2=16x^2+z^2-y^2=0=16。这里a=____,b=____,c=____。第1空：3第2空：0第3空：6
5【填空题】母线平行于y轴且经过曲线$\left\{\begin{matrix}2x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\\x^{2}+z^{2}-y^{2}=0\end{matrix}\right.$的柱面方程为$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=16$。这里a=____,b=____,c=____。
第1空：3
第2空：0
第3空：6
题目解答
答案
将曲线方程消去 $y$，得柱面方程。
由
\[
\begin{cases}
2x^2 + y^2 + z^2 = 16 \\
x^2 + z^2 - y^2 = 0
\end{cases}
\]
解得 $y^2 = x^2 + z^2$，代入第一个方程得
\[
2x^2 + (x^2 + z^2) + z^2 = 16 \implies 3x^2 + 2z^2 = 16.
\]
与形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 = 16$ 对比，得
\[
a = 3, \quad b = 0, \quad c = 2.
\]
答案：$\boxed{3, 0, 2}$
解析
步骤 1：消去 $y$
将给定的曲线方程组 \[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 + z^2 = 16 \\ x^2 + z^2 - y^2 = 0 \end{cases} \] 中的第二个方程 $x^2 + z^2 - y^2 = 0$ 解出 $y^2$，得到 $y^2 = x^2 + z^2$。
步骤 2：代入第一个方程
将 $y^2 = x^2 + z^2$ 代入第一个方程 $2x^2 + y^2 + z^2 = 16$，得到 $2x^2 + (x^2 + z^2) + z^2 = 16$。
步骤 3：化简方程
化简得到 $3x^2 + 2z^2 = 16$。
步骤 4：对比形式
将 $3x^2 + 2z^2 = 16$ 与形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 = 16$ 对比，得到 $a = 3, b = 0, c = 2$。
将给定的曲线方程组 \[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 + z^2 = 16 \\ x^2 + z^2 - y^2 = 0 \end{cases} \] 中的第二个方程 $x^2 + z^2 - y^2 = 0$ 解出 $y^2$，得到 $y^2 = x^2 + z^2$。
步骤 2：代入第一个方程
将 $y^2 = x^2 + z^2$ 代入第一个方程 $2x^2 + y^2 + z^2 = 16$，得到 $2x^2 + (x^2 + z^2) + z^2 = 16$。
步骤 3：化简方程
化简得到 $3x^2 + 2z^2 = 16$。
步骤 4：对比形式
将 $3x^2 + 2z^2 = 16$ 与形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 = 16$ 对比，得到 $a = 3, b = 0, c = 2$。