3.若抛物线 =a(x)^2 与曲线 =ln x 相切,则 a= () () .-|||-(A) dfrac (1)(2e) (B)2e (C) dfrac (2)(e) (D) dfrac (e)(2)

考查要点：本题主要考查导数的几何意义及曲线相切的条件。需要理解两曲线相切时，切点处的函数值相等且导数相等。

解题核心思路：

1. 设切点坐标$(x_0, y_0)$，根据相切条件建立方程；
2. 联立抛物线与对数曲线的函数值相等，即$a x_0^2 = \ln x_0$；
3. 联立两曲线在切点处的导数相等，即$2a x_0 = \frac{1}{x_0}$；
4. 解方程组求出$a$的值。

破题关键点：

• 正确写出两曲线的导数表达式；
• 通过联立方程消元，最终求解$a$。

步骤1：设切点坐标
设抛物线$y = a x^2$与曲线$y = \ln x$的切点为$(x_0, y_0)$，则两曲线在该点的函数值相等，即：
$a x_0^2 = \ln x_0 \quad \text{(1)}$

步骤2：求导并联立导数相等
抛物线的导数为$y' = 2a x$，曲线的导数为$y' = \frac{1}{x}$。在切点处导数相等，故：
$2a x_0 = \frac{1}{x_0} \quad \text{(2)}$

步骤3：解方程组
从方程(2)可得：
$2a x_0 = \frac{1}{x_0} \implies a x_0^2 = \frac{1}{2} \quad \text{(3)}$
将(3)代入(1)：
$\frac{1}{2} = \ln x_0 \implies x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$
将$x_0 = \sqrt{e}$代入(3)：
$a (\sqrt{e})^2 = \frac{1}{2} \implies a e = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2e}$