方程 y'' - 2y' + 2y = e^x cos x 的特解 Y 的形式为()A. axe^x cos xB. axe^x cos x + bxe^x sin xC. ax^2 e^x cos xD. ax^2 e^x cos x + bx^2 e^x sin x

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定，需结合特征方程法和未定系数法进行分析。

解题核心思路：

1. 求齐次方程的特征根：通过特征方程确定齐次解的形式。
2. 分析非齐次项与特征根的关系：判断非齐次项的指数部分是否与特征根重合。
3. 确定特解形式：若非齐次项与齐次解重复，则特解需乘以$x$的幂次（重根次数决定幂次）。

破题关键点：

• 特征根为$1 \pm i$，对应齐次解为$e^x(C_1 \cos x + C_2 \sin x)$。
• 非齐次项$e^x \cos x$的指数部分$1+i$与特征根重复，需将特解形式乘以$x$的一次方。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为$y'' - 2y' + 2y = 0$，其特征方程为：
$r^2 - 2r + 2 = 0$
解得特征根：
$r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = 1 \pm i$

步骤2：分析非齐次项形式

非齐次项为$e^x \cos x$，可表示为$e^{(1+i)x}$。由于特征根$1+i$与非齐次项的指数部分相同，根据未定系数法，特解需乘以$x$的一次方。

步骤3：确定特解形式

特解形式为：
$Y = x e^x (A \cos x + B \sin x)$
展开后包含$xe^x \cos x$和$xe^x \sin x$两项，对应选项B。