2.证明方程x^5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.3.证明方程x=sin x+b，其中a>0，b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b.
题目解答
答案
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证明方程 $x^5 - 3x = 1$ 至少有一个根介于1和2之间：
定义函数 $f(x) = x^5 - 3x - 1$，计算得 $f(1) = -3 < 0$，$f(2) = 25 > 0$。由零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$，即 $\xi^5 - 3\xi = 1$。 -
证明方程 $x = a \sin x + b$（$a > 0$，$b > 0$）至少有一个正根，且不超过 $a + b$：
定义函数 $g(x) = x - a \sin x - b$，有 $g(0) = -b < 0$，$g(a + b) = a(1 - \sin(a + b)) \geq 0$。由零点定理，存在 $\eta \in [0, a + b]$ 使 $g(\eta) = 0$，即 $\eta = a \sin \eta + b$。由于 $\eta = 0$ 时矛盾，故 $\eta$ 为正根。
$\boxed{\begin{array}{l}1. \text{方程 } x^5 - 3x = 1 \text{ 在 } (1, 2) \text{ 内有根。} \\2. \text{方程 } x = a \sin x + b \text{（} a, b > 0 \text{）有正根，且不超过 } a + b。\end{array}}$
解析
考查要点：
这两题均考查连续函数的零点定理的应用，即通过验证函数在区间端点的函数值符号变化，证明方程在该区间内至少存在一个根。
解题核心思路：
- 构造合适的函数，将方程转化为函数零点问题；
- 验证函数的连续性（通常初等函数默认连续）；
- 计算区间端点的函数值，若符号相反，则由零点定理可得存在根。
第2题：证明方程 $x^5 - 3x = 1$ 在 $(1, 2)$ 内有根
构造函数
定义函数 $f(x) = x^5 - 3x - 1$，显然 $f(x)$ 是多项式函数，在 $[1, 2]$ 上连续。
计算端点值
- 当 $x = 1$ 时，$f(1) = 1^5 - 3 \cdot 1 - 1 = -3 < 0$；
- 当 $x = 2$ 时，$f(2) = 2^5 - 3 \cdot 2 - 1 = 25 > 0$。
应用零点定理
由于 $f(1) < 0$ 且 $f(2) > 0$，根据零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使得 $f(\xi) = 0$，即 $\xi^5 - 3\xi = 1$。
第3题：证明方程 $x = a \sin x + b$（$a > 0$，$b > 0$）有正根且不超过 $a + b$
构造函数
定义函数 $g(x) = x - a \sin x - b$，显然 $g(x)$ 是初等函数，在 $[0, a + b]$ 上连续。
计算端点值
- 当 $x = 0$ 时，$g(0) = 0 - a \cdot 0 - b = -b < 0$；
- 当 $x = a + b$ 时，
$g(a + b) = (a + b) - a \sin(a + b) - b = a(1 - \sin(a + b)) \geq 0$
（因为 $\sin(a + b) \leq 1$，故 $1 - \sin(a + b) \geq 0$）。
应用零点定理
由于 $g(0) < 0$ 且 $g(a + b) \geq 0$，根据零点定理，存在 $\eta \in [0, a + b]$ 使得 $g(\eta) = 0$，即 $\eta = a \sin \eta + b$。
排除 $\eta = 0$ 的情况
若 $\eta = 0$，则方程变为 $0 = a \cdot 0 + b$，即 $b = 0$，但题目中 $b > 0$，矛盾。因此 $\eta > 0$，且 $\eta \leq a + b$。