题目
15.求函数 (x,y)=2(x)^3-4(x)^2+2xy-(y)^2 在三角形区域 -2leqslant xleqslant 2, -1leqslant yleqslant 1 上的最大值与最-|||-小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求函数在区域内部的驻点
解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {f}_{x}=6{x}^{2}-8x+2y=0\\ {f}_{y}=2x-2y=0,\end{matrix} \right.$ 得驻点 (x,y)=(0,0) , 从而 f(0,0)=0 。
步骤 2：求边界上的最值
①当 y=1 ,$-2\lt x\lt 2$ 时,令 $g(x)=f(x,1)=2{x}^{3}-4{x}^{2}+2x-1$ 。 因为 $g'(x)=6{x}^{2}-8x+2=2(x-1)(3x-1)$ , 令 g'(x)=0 ,解得 x=1 或 $x=\dfrac {1}{3}$ ,从而 g(1)=-1 , $g(\dfrac {1}{3})=-\dfrac {19}{27}$ 。
②当 x=-2 ,$-3\lt y\lt 1$ 时,令 $h(y)=f(-2,y)=-{y}^{2}-4y-32=-{(y+2)}^{2}-28$ 则 ${h}_{max}=h(-2)=-28$ 。
③当 y=x-1 ,$-2\lt x\lt 2$ 时,令 $m(x)=f(x,x-1)=2{x}^{3}-3{x}^{2}-1$ 。 因为 $m'(x)=6{x}^{2}-6x=6x(x-1)$ , 令 m'(x)=0 ,则 x=0 或 x=1 ,从而 m(0)=-1 , m(1)=-2 。
步骤 3：求边界端点的函数值
易知 f(2,1)=3 f(-2,1)=-37 f(-2,-3)=-29 。
解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {f}_{x}=6{x}^{2}-8x+2y=0\\ {f}_{y}=2x-2y=0,\end{matrix} \right.$ 得驻点 (x,y)=(0,0) , 从而 f(0,0)=0 。
步骤 2：求边界上的最值
①当 y=1 ,$-2\lt x\lt 2$ 时,令 $g(x)=f(x,1)=2{x}^{3}-4{x}^{2}+2x-1$ 。 因为 $g'(x)=6{x}^{2}-8x+2=2(x-1)(3x-1)$ , 令 g'(x)=0 ,解得 x=1 或 $x=\dfrac {1}{3}$ ,从而 g(1)=-1 , $g(\dfrac {1}{3})=-\dfrac {19}{27}$ 。
②当 x=-2 ,$-3\lt y\lt 1$ 时,令 $h(y)=f(-2,y)=-{y}^{2}-4y-32=-{(y+2)}^{2}-28$ 则 ${h}_{max}=h(-2)=-28$ 。
③当 y=x-1 ,$-2\lt x\lt 2$ 时,令 $m(x)=f(x,x-1)=2{x}^{3}-3{x}^{2}-1$ 。 因为 $m'(x)=6{x}^{2}-6x=6x(x-1)$ , 令 m'(x)=0 ,则 x=0 或 x=1 ,从而 m(0)=-1 , m(1)=-2 。
步骤 3：求边界端点的函数值
易知 f(2,1)=3 f(-2,1)=-37 f(-2,-3)=-29 。