题目
强化65 已知向量组(Ⅰ)alpha_(1)=(1,1,4)^T,alpha_(2)=(1,0,4)^T,alpha_(3)=(1,2,a^2+3)^T(Ⅱ)beta_(1)=(1,1,a+3)^T,beta_(2)=(0,2,1-a)^T,beta_(3)=(1,3,a^2+3)^T若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，求a的取值，并将beta_(3)用alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性表示.
强化65 已知向量组
(Ⅰ)$\alpha_{1}=(1,1,4)^{T},\alpha_{2}=(1,0,4)^{T},\alpha_{3}=(1,2,a^{2}+3)^{T}$
(Ⅱ)$\beta_{1}=(1,1,a+3)^{T},\beta_{2}=(0,2,1-a)^{T},\beta_{3}=(1,3,a^{2}+3)^{T}$
若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，求a的取值，并将$\beta_{3}$用$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表示.
题目解答
答案
向量组 $(\mathbf{I})$ 和 $(\mathbf{II})$ 等价的条件是 $a \neq -1$。
当 $a \neq -1$ 时，$\beta_3$ 可表示为：
\[
\boxed{\beta_3 = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3}
\]
（注：对于 $a = 1$，该表示同样成立。）