下列级数中，条件收敛的级数为（ ）。A. sum_(n=1)^infty((1+3i)/(2))^nB. sum_(n=1)^infty((3+4i)^n)/(n!)C. sum_(n=1)^infty(i^n)/(n)D. sum_(n=1)^infty((-1)^n+i)/(sqrt(n+1))

本题考查复数项级数的敛散性判断，解题思路思路是分别对每个选项中的级数进行敛散性分析。

选项A

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1 + 3i}{2}\right)^n$，这是一个等比级数，公比$q=\frac{1 + 3i}{2}$。
根据等比级数的敛散性判别，当$\(\vert q\vert\lt 1$)时，等比级数收敛。
计算$\vert q\vert=\left\vert\frac{}_{}^{}\right\vert$，$\vert q\vert=\left\vert\frac{1 + 3i}{2}\right\vert=\frac{\sqrt{1^2 + 3^2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\gt 1$，所以该级数发散。

选项B

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(3 + 4i)^n)^n}{n!}$，使用比值判别法。
设$a_n=\frac{(3 + 4i)^n}{n!}$，则$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right\vert=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\vert\frac{(3 + 4i)^{n+1}}{(n + 1)!}\cdot\frac{n!}{(3 + 4i)^n}\right\vert=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\vert\frac{3 + 4i}{n + 1}\right\vert = 0\lt 1$。
根据比值判别法可知，该级数绝对收敛，且是绝对收敛。

选项C

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{i^n}{n}$，先考虑其绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\left\vert\frac{i^n}{n}\right\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，这是调和级数，是发散的。
再考虑原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{i^n}{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n + i)}{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}+i\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$。
其中$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$是交错级数，根据莱布尼茨判别法可知它收敛。
而$i\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}}$是发散的，所以原级数条件收敛。

选项D

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n + i}{\sqrt{n + 1}}$，将其拆分为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}+i\sum_{n =1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$。
$\sum_{n =1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}$}})是交错级数，根据莱布尼茨判别法可知它收敛。
$i\sum_{n =1}^{\infty}\frac{}_{}^{}\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$与$p$级数$\sum_{n =1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}$（$p=\frac{1}{2}\lt 1$）类似，是发散的，所以原级数发散。