题目
轴所围成的图形的面积为A.问p和q为何值时,A达到最大值,并求出此最大值.-|||-12.由 =(x)^3 ,x=2 ,y=0 所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转,计算所得两个旋转体的-|||-体积.-|||-13.把星形线 ^2/3+(y)^2/3=(a)^2/3 所围成的图形绕x轴旋转(图 6-21 ),计算所得旋转体的
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体体积的计算方法
旋转体的体积可以通过积分计算。绕x轴旋转的体积可以通过圆盘法计算，绕y轴旋转的体积可以通过圆柱壳法计算。
步骤 2：绕x轴旋转的体积计算
绕x轴旋转的体积可以通过积分计算，公式为 $V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中 $f(x) = x^3$，积分区间为 $[0, 2]$。
步骤 3：绕y轴旋转的体积计算
绕y轴旋转的体积可以通过积分计算，公式为 $V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx$，其中 $f(x) = x^3$，积分区间为 $[0, 2]$。
步骤 4：计算绕x轴旋转的体积
$V_x = \pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^7}{7} - 0 \right) = \frac{128\pi}{7}$。
步骤 5：计算绕y轴旋转的体积
$V_y = 2\pi \int_{0}^{2} x (x^3) dx = 2\pi \int_{0}^{2} x^4 dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = 2\pi \left( \frac{2^5}{5} - 0 \right) = \frac{64\pi}{5}$。
旋转体的体积可以通过积分计算。绕x轴旋转的体积可以通过圆盘法计算，绕y轴旋转的体积可以通过圆柱壳法计算。
步骤 2：绕x轴旋转的体积计算
绕x轴旋转的体积可以通过积分计算，公式为 $V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中 $f(x) = x^3$，积分区间为 $[0, 2]$。
步骤 3：绕y轴旋转的体积计算
绕y轴旋转的体积可以通过积分计算，公式为 $V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx$，其中 $f(x) = x^3$，积分区间为 $[0, 2]$。
步骤 4：计算绕x轴旋转的体积
$V_x = \pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^7}{7} - 0 \right) = \frac{128\pi}{7}$。
步骤 5：计算绕y轴旋转的体积
$V_y = 2\pi \int_{0}^{2} x (x^3) dx = 2\pi \int_{0}^{2} x^4 dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = 2\pi \left( \frac{2^5}{5} - 0 \right) = \frac{64\pi}{5}$。