3.求曲线r=f(t)=(t-sin t)i+(1-cos t)j+(4sin(t)/(2))k在与t_(0)=(pi)/(2)相应的点处的切线及法平面方程.

为了求曲线 $ r = f(t) = (t - \sin t)i + (1 - \cos t)j + \left(4 \sin \frac{t}{2}\right)k $ 在与 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $ 相应的点处的切线及法平面方程，我们需要按照以下步骤进行： 1. **求出 $ t = \frac{\pi}{2} $ 时的点的坐标。** 2. **求出 $ r(t) $ 的导数 $ r'(t) $。** 3. **求出 $ t = \frac{\pi}{2} $ 时的切向量 $ r'\left(\frac{\pi}{2}\right) $。** 4. **利用切向量求出切线方程。** 5. **利用切向量求出法平面方程。** ### 步骤1：求出 $ t = \frac{\pi}{2} $ 时的点的坐标 将 $ t = \frac{\pi}{2} $ 代入 $ r(t) $： \[ r\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}\right)i + \left(1 - \cos \frac{\pi}{2}\right)j + \left(4 \sin \frac{\pi}{4}\right)k = \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)i + j + 2\sqrt{2}k \] 所以，点的坐标为 $ \left(\frac{\pi}{2} - 1, 1, 2\sqrt{2}\right) $。 ### 步骤2：求出 $ r(t) $ 的导数 $ r'(t) $ 对 $ r(t) $ 求导： \[ r'(t) = \left(1 - \cos t\right)i + \left(\sin t\right)j + \left(2 \cos \frac{t}{2}\right)k \] ### 步骤3：求出 $ t = \frac{\pi}{2} $ 时的切向量 $ r'\left(\frac{\pi}{2}\right) $ 将 $ t = \frac{\pi}{2} $ 代入 $ r'(t) $： \[ r'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(1 - \cos \frac{\pi}{2}\right)i + \left(\sin \frac{\pi}{2}\right)j + \left(2 \cos \frac{\pi}{4}\right)k = i + j + \sqrt{2}k \] 所以，切向量为 $ \left(1, 1, \sqrt{2}\right) $。 ### 步骤4：利用切向量求出切线方程 切线方程的参数形式为： \[ \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} - 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2\sqrt{2} + \sqrt{2}t \end{cases} \] 或者写成对称形式： \[ \frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] ### 步骤5：利用切向量求出法平面方程 法平面方程为： \[ 1 \left(x - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\right) + 1(y - 1) + \sqrt{2}\left(z - 2\sqrt{2}\right) = 0 \] 化简得： \[ x - \frac{\pi}{2} + 1 + y - 1 + \sqrt{2}z - 4 = 0 \] \[ x + y + \sqrt{2}z - \frac{\pi}{2} - 4 = 0 \] ### 最终答案 切线方程为： \[ \boxed{\frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} \] 法平面方程为： \[ \boxed{x + y + \sqrt{2}z - \frac{\pi}{2} - 4 = 0} \]