1.求函数 (x)=dfrac ({x)^3+3(x)^2-x-3}({x)^2+x-6} 的连续区间,并求极限 lim f(x),-|||-limf(x )及limf(x).

考查要点：本题主要考查分式函数的连续区间判断及极限计算，涉及分式函数的定义域、可去间断点与无穷间断点的判断，以及多项式分解与约分技巧。

解题核心思路：

1. 确定函数无定义的点：分母为零的点即为间断点，需解方程 $x^2 + x - 6 = 0$。
2. 分解分子与分母：通过因式分解约去公共因子，简化表达式，判断是否存在可去间断点。
3. 计算极限：利用简化后的表达式直接代入或分析分母趋近于零的趋势。

破题关键点：

• 分母因式分解：快速找到分母的根，确定间断点。
• 分子因式分解：发现分子与分母的公共因子，简化函数表达式。
• 极限计算技巧：特别注意可去间断点与无穷间断点的处理方式。

1. 确定连续区间

步骤1：求分母为零的点
分母 $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$，解得 $x = -3$ 和 $x = 2$，即函数在 $x = -3$ 和 $x = 2$ 处无定义。

步骤2：分解分子
分子 $x^3 + 3x^2 - x - 3$ 分解为 $(x^2 - 1)(x + 3) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)$。

步骤3：约分简化
原函数可化简为：
$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{x^2 - 1}{x - 2} \quad (x \neq -3)$
因此，$x = -3$ 是可去间断点，$x = 2$ 是无穷间断点。连续区间为：
$(-\infty, -3), \quad (-3, 2), \quad (2, +\infty)$

2. 计算极限

$\lim_{x \to 0} f(x)$

直接代入简化后的表达式：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{0^2 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to -3} f(x)$

约分后表达式为 $\frac{x^2 - 1}{x - 2}$，代入 $x = -3$：
$\lim_{x \to -3} \frac{(-3)^2 - 1}{-3 - 2} = \frac{9 - 1}{-5} = -\frac{8}{5}$

$\lim_{x \to 2} f(x)$

分母趋近于 $0$，分子趋近于 $2^2 - 1 = 3$，故极限为无穷大：
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \infty$