题目
设F1(x)和F2 (x)为二维随机变量(X1,X2)的边缘分布函数,且X1,X2相互独立,则-|||-(A) (F)_(1)(x)-(F)_(2)(x) 必为某一随机变量的分布函数.-|||-(B) _(1)(x)+(F)_(2)(x) 必为某一随机变量的分布函数.-|||-(C) _(1)(x)-dfrac (1)(2)(F)_(2)(x) 必为某一随机变量的分布函数.-|||-(D)F1(x)F 2(x)必为某一随机变量的分布函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：验证选项 (A)
$2{F}_{1}(x)-{F}_{2}(x)$ 不满足分布函数的单调不减条件。因为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 都是单调不减的，但 $2F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 的差可能不是单调不减的。
步骤 2：验证选项 (B)
${F}_{1}(x)+{F}_{2}(x)$ 不满足分布函数的极限条件。因为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }[ {F}_{1}(x)+{F}_{2}(x)] =2$，而分布函数的极限应为1。
步骤 3：验证选项 (C)
${F}_{1}(x)-\dfrac {1}{2}{F}_{2}(x)$ 不满足分布函数的极限条件。因为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }[ {F}_{1}(x)-\dfrac {1}{2}{F}_{2}(x)] =\dfrac {1}{2}$，而分布函数的极限应为1。
步骤 4：验证选项 (D)
F1(x)F 2(x)满足分布函数的条件。因为X1和X2相互独立，设X=max(X1,X2)，则有
$F_x(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{max(X_1,X_2)\leqslant x\}=P\{X_1\leqslant x,X_2\leqslant x\}=P\{X_1\leqslant x\}P\{X_2\leqslant x\}=F_1(x)F_2(x)$
$2{F}_{1}(x)-{F}_{2}(x)$ 不满足分布函数的单调不减条件。因为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 都是单调不减的，但 $2F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 的差可能不是单调不减的。
步骤 2：验证选项 (B)
${F}_{1}(x)+{F}_{2}(x)$ 不满足分布函数的极限条件。因为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }[ {F}_{1}(x)+{F}_{2}(x)] =2$，而分布函数的极限应为1。
步骤 3：验证选项 (C)
${F}_{1}(x)-\dfrac {1}{2}{F}_{2}(x)$ 不满足分布函数的极限条件。因为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }[ {F}_{1}(x)-\dfrac {1}{2}{F}_{2}(x)] =\dfrac {1}{2}$，而分布函数的极限应为1。
步骤 4：验证选项 (D)
F1(x)F 2(x)满足分布函数的条件。因为X1和X2相互独立，设X=max(X1,X2)，则有
$F_x(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{max(X_1,X_2)\leqslant x\}=P\{X_1\leqslant x,X_2\leqslant x\}=P\{X_1\leqslant x\}P\{X_2\leqslant x\}=F_1(x)F_2(x)$