幂级数sum_(n=1)^infty((x-2020)^n)/(sqrt(n))的收敛域是: A. [-2020,2020]B. [2019,2021]C. [2019,2021)D. (2019,2021]

为了确定幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2020)^{n}}{\sqrt{n}}$的收敛域，我们将使用比值测试来找到收敛半径，然后检查收敛域的端点。 ### 第1步：应用比值测试 比值测试指出，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$，那么： - 如果 $L < 1$，级数收敛。 - 如果 $L > 1$，级数发散。 - 如果 $L = 1$，测试不确定。 对于我们的级数，$a_n = \frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}$。因此， \[ a_{n+1} = \frac{(x-2020)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}. \] 现在，我们计算$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$： \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(x-2020)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}} \right| = \left| (x-2020) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \right| = |x-2020| \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}. \] 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \to 1$。因此， \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x-2020|. \] 根据比值测试，级数在 $|x-2020| < 1$ 时收敛，在 $|x-2020| > 1$ 时发散。因此，收敛半径是1，收敛区间是 $2019 < x < 2021$。 ### 第2步：检查端点 我们需要检查级数在 $x = 2019$ 和 $x = 2021$ 时的收敛性。 #### 端点 $x = 2019$ 当 $x = 2019$ 时，级数变为 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2019-2020)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. \] 这是一个交错级数。根据交错级数测试，如果 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是一个递减序列，且 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n$ 收敛。这里，$b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 满足这两个条件，因此级数收敛。 #### 端点 $x = 2021$ 当 $x = 2021$ 时，级数变为 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2021-2020)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}. \] 这是一个 $p$-级数，其中 $p = \frac{1}{2}$。由于 $p \leq 1$，级数发散。 ### 结论 级数在 $2019 \leq x < 2021$ 时收敛。因此，收敛域是 $[2019, 2021)$。 正确答案是 $\boxed{C}$。