(4)设函数 f(x)= )sin x xneq 0 0 x=0 .-|||-x≠0,则点O是函数f(x )的 () .-|||-A.第一类不连续点 B.第二类不连续点-|||-C.可去不连续点 D.连续点

考查要点：本题主要考查函数在某点的连续性判断，涉及分段函数的极限计算及连续性定义的应用。

解题核心思路：

1. 连续性定义：函数在点$x_0$连续需满足三点：函数在$x_0$有定义，极限$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，且极限值等于函数值$f(x_0)$。
2. 关键点：计算$\lim_{x \to 0} f(x)$，并与$f(0)=0$比较。
3. 技巧：利用夹逼定理处理$x^{1/3} \sin x$的极限，注意三次根号函数的性质。

步骤1：分析函数定义
函数$f(x)$在$x=0$处定义为$0$，当$x \neq 0$时，$f(x) = x^{1/3} \sin x$。需判断$x=0$是否连续。

步骤2：计算极限$\lim_{x \to 0} f(x)$

• 绝对值估计：
  $|x^{1/3} \sin x| \leq |x^{1/3}|$
  因为$|\sin x| \leq 1$，且当$x \to 0$时，$|x^{1/3}| \to 0$。
• 应用夹逼定理：
  $0 \leq |x^{1/3} \sin x| \leq |x^{1/3}| \to 0$
  因此，$\lim_{x \to 0} x^{1/3} \sin x = 0$。

步骤3：验证连续性条件

• $f(0) = 0$已定义。
• $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$存在。
• 极限值等于函数值，故$f(x)$在$x=0$处连续。