【题目】求 (x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0 的通解.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，需要掌握变量替换法将方程转化为可分离变量方程，并正确进行积分求解。
解题核心思路：
- 识别齐次方程：验证方程中的项均为$x$和$y$的同次齐次函数。
- 变量替换：令$u = \frac{y}{x}$，将方程转化为关于$u$和$x$的方程。
- 分离变量积分：通过代数变形分离变量，分别对$u$和$x$积分。
- 回代整理：将$u = \frac{y}{x}$代回积分结果，整理得到通解。
破题关键点：
- 正确判断齐次方程的次数：原方程中$x^3 + y^3$和$3xy^2$均为三次齐次函数。
- 准确进行变量替换：替换后需将$dy$用$dx$和$du$表示，并代入原方程。
步骤1：验证齐次方程
原方程 $(x^3 + y^3)dx - 3xy^2 dy = 0$ 中：
- $x^3$ 和 $y^3$ 是三次齐次函数，
- $3xy^2$ 也是三次齐次函数，
因此方程为三次齐次方程。
步骤2：变量替换
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$dy = u dx + x du$。将$y$和$dy$代入原方程：
$(x^3 + (ux)^3)dx - 3x(ux)^2 (u dx + x du) = 0$
化简得：
$x^3(1 + u^3)dx - 3x^3u^2(u dx + x du) = 0$
两边除以$x^3$：
$(1 + u^3)dx - 3u^2(u dx + x du) = 0$
展开并整理：
$(1 + u^3 - 3u^3)dx - 3u^2x du = 0 \quad \Rightarrow \quad (1 - 2u^3)dx - 3u^2x du = 0$
步骤3：分离变量
将方程改写为：
$\frac{3u^2}{1 - 2u^3} du = \frac{dx}{x}$
对两边积分：
$\int \frac{3u^2}{1 - 2u^3} du = \int \frac{1}{x} dx$
步骤4：积分求解
令积分左边分子为$-d(1 - 2u^3)$，则：
$-\frac{1}{2} \int \frac{d(1 - 2u^3)}{1 - 2u^3} = \ln x + C$
积分结果为：
$-\frac{1}{2} \ln|1 - 2u^3| = \ln x + C$
整理得：
$\ln|1 - 2u^3| = -2\ln x + C \quad \Rightarrow \quad 1 - 2u^3 = \frac{C}{x^2}$
步骤5：回代整理
将$u = \frac{y}{x}$代入：
$1 - 2\left(\frac{y}{x}\right)^3 = \frac{C}{x^2} \quad \Rightarrow \quad x^3 - 2y^3 = Cx$