题目
6.填空题设随机变量X服从U(0,1)的均匀分布，PXge(1)/(2)=_.
6.填空题
设随机变量X服从U(0,1)的均匀分布，
$P\{X\ge\frac{1}{2}\}=\_.$
题目解答
答案
为了确定随机变量 $ X $ 服从 $ U(0,1) $ 均匀分布时 $ P\{X \ge \frac{1}{2}\} $ 的值，我们可以按照以下步骤进行：
1. **理解均匀分布**：均匀分布 $ U(0,1) $ 意味着随机变量 $ X $ 在区间 $[0,1]$ 上等可能取任何值。概率密度函数（pdf） $ f(x) $ 在区间 $[0,1]$ 上为1，在其他任何地方为0。数学上，这表示为：
\[
f(x) = \begin{cases}
1 & \text{如果 } 0 \le x \le 1, \\
0 & \text{其他情况}.
\end{cases}
\]
2. **计算概率**：概率 $ P\{X \ge \frac{1}{2}\} $ 是 $ X $ 落在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内的概率。对于连续随机变量，这个概率是概率密度函数在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的积分：
\[
P\{X \ge \frac{1}{2}\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) \, dx.
\]
由于在区间 $[0,1]$ 上 $ f(x) = 1 $，积分简化为：
\[
P\{X \ge \frac{1}{2}\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
\]
因此，$ P\{X \ge \frac{1}{2}\} $ 的值是 $\boxed{\frac{1}{2}}$。
解析
步骤 1：理解均匀分布
随机变量 $X$ 服从 $U(0,1)$ 均匀分布，意味着 $X$ 在区间 $[0,1]$ 上等可能取任何值。概率密度函数（pdf）$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上为1，在其他任何地方为0。数学上，这表示为：
\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } 0 \le x \le 1, \\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases} \]
步骤 2：计算概率
概率 $P\{X \ge \frac{1}{2}\}$ 是 $X$ 落在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内的概率。对于连续随机变量，这个概率是概率密度函数在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的积分：
\[ P\{X \ge \frac{1}{2}\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) \, dx. \]
由于在区间 $[0,1]$ 上 $f(x) = 1$，积分简化为：
\[ P\{X \ge \frac{1}{2}\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]
随机变量 $X$ 服从 $U(0,1)$ 均匀分布，意味着 $X$ 在区间 $[0,1]$ 上等可能取任何值。概率密度函数（pdf）$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上为1，在其他任何地方为0。数学上，这表示为：
\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } 0 \le x \le 1, \\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases} \]
步骤 2：计算概率
概率 $P\{X \ge \frac{1}{2}\}$ 是 $X$ 落在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内的概率。对于连续随机变量，这个概率是概率密度函数在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的积分：
\[ P\{X \ge \frac{1}{2}\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) \, dx. \]
由于在区间 $[0,1]$ 上 $f(x) = 1$，积分简化为：
\[ P\{X \ge \frac{1}{2}\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]