填空题（共40题，64.0分） 43. (1.6分) lim_(xtoinfty)(pi)/(x)sin(pi x)=

为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi}{x}\sin(\pi x)$，我们可以将问题分解为两个部分：$\frac{\pi}{x}$ 和 $\sin(\pi x)$。 1. 首先考虑 $\frac{\pi}{x}$ 当 $x \to \infty$ 时的极限。由于 $x$ 趋向于无穷大，$\frac{\pi}{x}$ 趋向于 0。即： \[ \lim_{x\to\infty}\frac{\pi}{x} = 0 \] 2. 接下来考虑 $\sin(\pi x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限。正弦函数 $\sin(\pi x)$ 是一个周期为 2 的周期函数，它的值在 -1 和 1 之间 oscillation。因此，$\sin(\pi x)$ 当 $x \to \infty$ 时没有确定的极限，但它的值域始终在 $[-1, 1]$ 内。 3. 现在将这两个部分结合在一起。由于 $\frac{\pi}{x}$ 趋向于 0，而 $\sin(\pi x)$ 的值域在 $[-1, 1]$ 内，所以它们的乘积 $\frac{\pi}{x}\sin(\pi x)$ 也趋向于 0。这是因为任何有限的数（在 $[-1, 1]$ 内）乘以 0 都等于 0。 因此，极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi}{x}\sin(\pi x)$ 为 0。 答案是 $\boxed{0}$。