题目

3.若ax_(0)+by_(0)是形如ax+by(x，y是任意整数，a，b是两个不全为零的整数)的数中的最小正数，则 (ax_(0)+by_(0))|(ax+by).

3.若$ax_{0}+by_{0}$是形如ax+by(x，y是任意整数，a，b是两个不全为零的整数)的数中的最小正数，则 $(ax_{0}+by_{0})|(ax+by)$.

题目解答

答案

设 $d = ax_0 + by_0$，其中 $d$ 是形如 $ax + by$ 的最小正数。对于任意整数 $x$ 和 $y$，由除法算法存在整数 $q$ 和 $r$，满足 \[ ax + by = dq + r, \quad 0 \leq r < d. \] 整理得 \[ r = a(x - x_0q) + b(y - y_0q), \] 即 $r$ 也是形如 $ax + by$ 的数。由于 $d$ 最小，若 $r$ 为正则与最小性矛盾，故 $r = 0$。因此， \[ ax + by = dq, \] 即 $d$ 整除 $ax + by$。结论为 \[ \boxed{(ax_0 + by_0) \mid (ax + by)}. \]

解析

考查要点：本题主要考查整数线性组合的最小正数性质及其整除性，涉及带余除法的应用和最小正数存在性的推论。

解题核心思路：

  1. 构造最小正数：设$d = ax_0 + by_0$为所有形如$ax + by$的最小正数。
  2. 带余除法分解：对任意$ax + by$，用$d$进行带余除法，得到余数$r$。
  3. 矛盾推导：通过$r$的构造说明其仍属于$ax + by$的形式，结合$d$的最小性得出$r = 0$，从而证明$d$整除所有$ax + by$。

破题关键点：

  • 最小正数的唯一性：若存在比$d$更小的正数，则与$d$的定义矛盾。
  • 余数的性质：余数$r$必须属于$ax + by$的形式，否则无法应用最小性推导。

步骤1：定义最小正数$d$
设$d = ax_0 + by_0$为所有形如$ax + by$（$x, y$为整数）的最小正数。

步骤2：对任意$ax + by$应用带余除法
对任意整数$x, y$，存在整数$q$和$r$，使得：
$ax + by = dq + r, \quad 0 \leq r < d.$

步骤3：构造余数$r$的形式
将等式变形为：
$r = ax + by - dq = a(x - x_0 q) + b(y - y_0 q).$
由于$x - x_0 q$和$y - y_0 q$均为整数，因此$r$仍属于形如$ax + by$的数。

步骤4：利用最小性推导
若$r > 0$，则$r$是一个比$d$更小的正数，与$d$的最小性矛盾。因此必有$r = 0$。

步骤5：结论
由$r = 0$得：
$ax + by = dq,$
即$d$整除所有$ax + by$，即$(ax_0 + by_0) \mid (ax + by)$。