题目
3、单选 已知Σ为锥面z=sqrt(x^2)+y^(2)在柱体x^2+y^2leq2x内的部分，则曲面积分intint_(Sigma)zdS=（）. A. (32)/(9)sqrt(2) B. 2 C. 0 D. (sqrt(2))/(4)
3、单选 已知Σ为锥面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$在柱体$x^{2}+y^{2}\leq2x$内的部分，则曲面积分$\int\int_{\Sigma}zdS=$（）.
A. $\frac{32}{9}\sqrt{2}$
B. 2
C. 0
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
A. $\frac{32}{9}\sqrt{2}$
B. 2
C. 0
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
题目解答
答案
为了求解曲面积分 $\int\int_{\Sigma} z \, dS$，其中 $\Sigma$ 是锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 在柱体 $x^2 + y^2 \leq 2x$ 内的部分，我们首先需要将曲面积分转换为二重积分。
### 步骤1：参数化曲面
锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 可以用 $x$ 和 $y$ 作为参数。曲面的法向量 $\mathbf{n}$ 可以通过计算 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数得到：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]
曲面元素 $dS$ 可以表示为：
\[
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} \, dx \, dy = \sqrt{2} \, dx \, dy
\]
### 步骤2：确定积分区域
柱体 $x^2 + y^2 \leq 2x$ 可以重写为：
\[
(x-1)^2 + y^2 \leq 1
\]
这是以 $(1,0)$ 为圆心，半径为 1 的圆。在极坐标系中，设 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，则圆的方程变为：
\[
(r \cos \theta - 1)^2 + (r \sin \theta)^2 \leq 1 \implies r^2 - 2r \cos \theta + 1 \leq 1 \implies r^2 \leq 2r \cos \theta \implies r \leq 2 \cos \theta
\]
$\theta$ 的范围是 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。
### 步骤3：将曲面积分转换为二重积分
曲面积分 $\int\int_{\Sigma} z \, dS$ 变为：
\[
\int\int_{D} \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{2} \, dx \, dy = \sqrt{2} \int\int_{D} \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy
\]
在极坐标系中， $x^2 + y^2 = r^2$ 和 $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$，所以积分变为：
\[
\sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \cos \theta} r \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr \, d\theta
\]
### 步骤4：计算二重积分
先对 $r$ 积分：
\[
\int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2 \cos \theta} = \frac{(2 \cos \theta)^3}{3} = \frac{8 \cos^3 \theta}{3}
\]
再对 $\theta$ 积分：
\[
\sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \cos^3 \theta}{3} \, d\theta = \frac{8\sqrt{2}}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta
\]
由于 $\cos^3 \theta$ 是偶函数，所以：
\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta
\]
使用 reduction formula $\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx$，我们得到：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = \left[ \frac{\cos^2 \theta \sin \theta}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \, d\theta = 0 + \frac{2}{3} \left[ \sin \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3}
\]
因此：
\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\]
最后，曲面积分的值为：
\[
\frac{8\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{9}
\]
所以，正确答案是 $\boxed{A}$。
解析
本题考查第一类曲面积分的计算。解题思路是先将曲面积分转化为二重积分，再通过参数化（本题采用极坐标）的方法计算二重积分。
- 计算曲面元素 $dS$：
- 已知锥面方程 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$，对 $z$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
- 根据求导公式 $(\sqrt{u})^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt{u}}$，$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
- 由曲面元素公式 $dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$，将偏导数代入可得：
- $dS=\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2 + y^2}+\frac{y^2}{x^2 + y^2}}dxdy$。
- 因为 $x^2 + y^2$ 约掉后，$dS=\sqrt{1 + 1}dxdy=\sqrt{2}dxdy$。
- 已知锥面方程 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$，对 $z$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
- 确定积分区域 $D$：
- 柱体方程 $x^2 + y^2\leq2x$，配方可得 $(x - 1)^2 + y^2\leq1$，这是一个以 $(1,0)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆。
- 转换为极坐标，令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则圆的方程变为 $(r\cos\theta - 1)^2+(r\sin\theta)^2\leq1$。
- 展开得 $r^2-2r\cos\theta + 1\leq1$，即 $r^2\leq2r\cos\theta$，因为 $r\geq0$，所以 $r\leq2\cos\theta$。
- 对于圆 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$，$\theta$ 的范围是 $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$。
- 将曲面积分转化为二重积分：
- 已知 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$，则曲面积分 $\iint_{\Sigma}zdS=\iint_{D}\sqrt{x^2 + y^2}\cdot\sqrt{2}dxdy$。
- 在极坐标下，$x^2 + y^2 = r^2$，$dxdy = rdr d\theta$，所以积分变为 $\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos\theta}r\cdot rdr d\theta=\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos\theta}r^2dr d\theta$。
- 计算二重积分：
- 先对 $r$ 积分：
- $\int_{0}^{2\cos\theta}r^2dr=\left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{2\cos\theta}=\frac{(2\cos\theta)^3}{3}=\frac{8\cos^3\theta}{3}$。
- 再对 $\theta$ 积分：
- $\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{8\cos^3\theta}{3}d\theta=\frac{8\sqrt{2}}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta d\theta$。
- 因为 $\cos^3\theta$ 是偶函数，根据偶函数积分性质 $\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$，所以 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta d\theta$。
- 利用积分公式 $\int\cos^n xdx=\frac{\cos^{n - 1}x\sin x}{n}+\frac{n - 1}{n}\int\cos^{n - 2}xdx$ 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta d\theta$：
- $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta d\theta=\left[\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta$。
- 因为 $\left[\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 0$，$\frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta=\frac{2}{3}[\sin\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3}$。
- 所以 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta d\theta = 2\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$。
- 则 $\frac{8\sqrt{2}}{3}\times\frac{4}{3}=\frac{32\sqrt{2}}{9}$。
- 先对 $r$ 积分：