设A是是对称矩阵，则n元二次型x^TAx正定的充分必要条件是( ).A. 负惯性指数为零B. A 与单位矩阵合同C. 存在正交矩阵 P ， P^TAP=E D. 存在n阶矩阵 C ，使 A=C^TC

分析二次型正定的定义和性质，对每个选项进行逐一判断来确定正确答案。

选项A

负惯性指数为零只能说明二次型的标准形中没有负平方项，但不能保证所有平方项的系数都为正。例如，二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2$，其负惯性指数为零，但它不是正定二次型，因为当$x_2\neq0$时，$f(x_1,x_2)=0$，不满足正定二次型对于任意非零向量$x$都有$x^{T}Ax>0$的定义。所以负惯性指数为零不是$n$元二次型$x^{T}Ax$正定的充分必要条件，A选项错误。

选项B

• 充分性：若$A$与单位矩阵$E$合同，则存在可逆矩阵$C$，使得$A = C^{T}EC = C^{T}C$。对于任意非零向量$x$，令$y = Cx$，因为$C$可逆，所以当$x\neq0$时，$y\neq0$。此时$x^{T}Ax = x^{T}(C^{T}C)x=(Cx)^{T}(Cx)=y^{T}y=\sum_{i = 1}^{n}y_{i}^{2}>0$，满足正定二次型的定义，所以$x^{T}Ax$正定。
• 必要性：若$n$元二次型$x^{T}Ax$正定，则$A$的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$都大于零。因为$A$是对称矩阵，所以存在正交矩阵$P$，使得$P^{T}AP=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。令$D=\text{diag}(\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2},\cdots,\sqrt{\lambda_n})$，则$D^{T}D=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，即$P^{T}AP = D^{T}D$。那么$A=(P^{T})^{-1}D^{T}D P^{-1}=(DP^{-1})^{T}(DP^{-1})$，令$C = P^{-1}$，则$A = C^{T}C$，又因为$C$可逆，所以$A$与单位矩阵$E$合同。因此，$A$与单位矩阵合同是$n$元二次型$x^{T}Ax$正定的充分必要条件，B选项正确。

选项C

存在正交矩阵$P$，使得$P^{T}AP = E$，这意味着$A$的所有特征值都为$1$，此时$A = E$，$x^{T}Ax=x^{T}x=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}>0$，二次型是正定的，但这只是一种特殊情况，不是$n$元二次型$x^{T}Ax$正定的充分必要条件。例如，当$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$时，二次型$x^{T}Ax = 2x_1^2 + 2x_2^2$是正定的，但不存在正交矩阵$P$使得$P^{T}AP = E$。所以C选项错误。

选项D

存在$n$阶矩阵$C$，使$A = C^{T}C$，当$C$不可逆时，存在非零向量$x$，使得$Cx = 0$，此时$x^{T}Ax = x^{T}(C^{T}C)x=(Cx)^{T}(Cx)=0$，不满足正定二次型的定义。只有当$C$可逆时，才能保证$x^{T}Ax$正定，所以存在$n$阶矩阵$C$，使$A = C^{T}C$不是$n$元二次型$x^{T}Ax$正定的充分必要条件，D选项错误。