题目
假设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间(EX)为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下，工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数FY(y)．
假设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间(EX)为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下，工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数FY(y)．
题目解答
答案
[详解] X服从指数分布 [*] [*]，所以[*] 即[*] 当y≤0，则FY(y)=0， 当y≥2，FY(y)=1； 当0＜y＜2， FY(y)=P(Y≤y)=P(min(X，2)≤y)=P(X≤y)=Fx(y)=1-[*]． 所以 [*]
解析
步骤 1：确定X的分布函数
由于X服从指数分布，且平均无故障工作时间(EX)为5小时，因此X的分布函数为：
\[ F_X(x) = 1 - e^{-\frac{x}{5}} \]
步骤 2：确定Y的分布函数
Y表示设备每次开机无故障工作的时间，Y=min(X,2)。因此，Y的分布函数为：
\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\min(X,2) \leq y) \]
步骤 3：分段讨论Y的分布函数
当y≤0时，Y的分布函数为0，因为Y不能取负值。
当y≥2时，Y的分布函数为1，因为Y的最大值为2。
当0＜y＜2时，Y的分布函数为X的分布函数，因为此时Y=X。
由于X服从指数分布，且平均无故障工作时间(EX)为5小时，因此X的分布函数为：
\[ F_X(x) = 1 - e^{-\frac{x}{5}} \]
步骤 2：确定Y的分布函数
Y表示设备每次开机无故障工作的时间，Y=min(X,2)。因此，Y的分布函数为：
\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\min(X,2) \leq y) \]
步骤 3：分段讨论Y的分布函数
当y≤0时，Y的分布函数为0，因为Y不能取负值。
当y≥2时，Y的分布函数为1，因为Y的最大值为2。
当0＜y＜2时，Y的分布函数为X的分布函数，因为此时Y=X。