题目

一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的。一只仓鼠从开着的洞口爬入笼子，它只能从开着的洞口爬出笼子。（1）假设这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，用X表示它爬向洞口的次数，求X的分布律；（2）假设这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，用Y表示它爬向洞口的次数，求Y的分布律；（3）求Y的分布函数.

题目解答

答案

（1）一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的，这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，则爬出洞口的概率为 $\frac{1}{4}$ ，X表示它爬向洞口的次数，则X服从参数为 $p=\frac{1}{4}$ 的几何分布，则X的分布律为 $P\left(X=k\right)=\left(1-p\right)^{k-1}p|_{p=\frac{1}{4}}$ $=\left(\frac{3}{4}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{4}\right),k=1,2,3,\cdots$ ；

（2）这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，Y表示它爬向洞口的次数，则Y的分布律为 $P\left(Y=1\right)=\frac{1}{4},P\left(Y=2\right)=\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$ ， $P\left(X=3\right)=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ， $P\left(X=4\right)=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{4}$ ，即 $\begin{pmatrix} Y&1&2&3&4 \newline P&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4} \end{pmatrix}$ ；

（3）随机变量分布函数的定义为 $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)$ ，则Y的分布函数为 $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=0,\left(y<1\right)$ ， $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(Y=1\right)=\frac{1}{4},\left(1\le y<2\right)$ ， $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(Y=1\right)+P\left(Y=2\right)$ $=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},\left(2\le y<3\right)$ ， $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(Y=1\right)+P\left(Y=2\right)$ $+P\left(X=3\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4},\left(3\le y<4\right)$ ， $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(Y=1\right)+P\left(Y=2\right)$ $+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)$ $=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1,\left(y\ge4\right)$ ，即 $F\left(y\right)=\begin{cases} 0,y<1\newline \frac{1}{4},1\le y<2\newline \frac{1}{2},2\le y<3\newline \frac{3}{4},3\le y<4\newline 1,y\ge 4 \end{cases}$ .

解析

步骤 1：确定X的分布律
一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的，这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，则爬出洞口的概率为$\dfrac {1}{4}$，X表示它爬向洞口的次数，则X服从参数为$p=\dfrac {1}{4}$的几何分布，则X的分布律为$P(X=k)={(1-p)}^{k-1}p{|}_{p}=\dfrac {1}{4}$$={(\dfrac {3}{4})}^{k-1}(\dfrac {1}{4})$ k=1 ,2,3,···；
步骤 2：确定Y的分布律
这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，Y表示它爬向洞口的次数，则Y的分布律为$P(Y=1)=\dfrac {1}{4}$ $P(Y=2)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{4}$，$P(X=3)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {2}{3}\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{4}$，$P(X=4)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {2}{3}\times \dfrac {1}{2}\times 1=\dfrac {1}{4}$，即Y 1 2 3 4 P 1/4 1/4 1/4 1/4；
步骤 3：确定Y的分布函数
随机变量分布函数的定义为$F(y)=P(Y\leqslant y)$，则Y的分布函数为$F(y)=P(Y\leqslant y)=0,(y\lt 1)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)=\dfrac {1}{4},(1$ $(1\leqslant y\lt 2)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$$=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{2},(2\leqslant y\lt 3)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$$P(X=3)=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{4},(3\leqslant y\lt 4)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$+P(X=3)+P(X=4)$=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=1,(y\geqslant 4)$，即F(y)= $\left \{ \begin{matrix} 0,y\leqslant 1,\\ 3,2\leqslant y\leqslant 3\\ 5,3\leqslant y\leqslant 3\\ 1,y\geqslant 4\end{matrix} \right.$.