从学校乘汽车到火车站,途中有3个交通岗,假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是0.4,设为途中遇到的红灯的次数,求的分布律和平均停车的次数。

考查要点：本题主要考查二项分布的应用，以及期望值的计算。

解题核心思路：
题目中，经过3个交通岗，每个岗遇到红灯是独立事件，概率均为0.4。因此，红灯次数X服从参数为n=3，p=0.4的二项分布。

• 分布律：直接利用二项分布的概率公式计算各可能取值的概率。
• 平均停车次数：即求X的期望，利用二项分布的期望公式直接计算。

破题关键点：

1. 明确问题符合独立重复试验的条件，确定二项分布模型。
2. 正确应用二项分布的公式计算概率和期望。

分布律的计算

设X为途中遇到的红灯次数，X服从二项分布$X \sim b(3, 0.4)$。其概率质量函数为：
$P\{X = k\} = C_3^k \cdot (0.4)^k \cdot (0.6)^{3-k} \quad (k = 0, 1, 2, 3)$

具体计算：

1. 当$k=0$时：
   $P\{X=0\} = C_3^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.216 = 0.216$
2. 当$k=1$时：
   $P\{X=1\} = C_3^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 0.432$
3. 当$k=2$时：
   $P\{X=2\} = C_3^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^1 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.288$
4. 当$k=3$时：
   $P\{X=3\} = C_3^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064$

平均停车次数的计算

二项分布的期望公式为：
$E(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0.4 = 1.2$