(3) lim _(xarrow infty )((dfrac {2x+3)(2x+1))}^x+1;

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{x}\right)^x = e^a$的变形应用。

解题核心思路：

1. 化简分式：将分式$\dfrac{2x+3}{2x+1}$改写为$1 + \dfrac{2}{2x+1}$，使其符合重要极限的形式。
2. 变量替换：通过引入新变量（如$n = 2x + 1$），将原式转化为重要极限的结构。
3. 指数处理：通过拆分指数或取对数的方法，将复杂极限转化为基本形式。

破题关键点：

• 识别分式结构，将其转化为$1 + \dfrac{\text{常数}}{\text{线性项}}$的形式。
• 灵活应用变量替换或对数转换，将指数部分与分母的比值简化为常数。

步骤1：化简分式
将原式中的分式变形：
$\frac{2x+3}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}.$

步骤2：改写极限表达式
原极限变为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2x+1}\right)^{x+1}.$

步骤3：变量替换
令$n = 2x + 1$，则当$x \to \infty$时，$n \to \infty$，且$x = \dfrac{n-1}{2}$。代入指数部分：
$x + 1 = \frac{n-1}{2} + 1 = \frac{n+1}{2}.$

步骤4：应用重要极限公式
原式可表示为：
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{n+1}{2}} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n\right]^{\frac{n+1}{2n}}.$

步骤5：计算指数部分的极限
$\frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty).$

步骤6：综合结果
结合重要极限$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n = e^2$，最终结果为：
$\left(e^2\right)^{\frac{1}{2}} = e.$