题目

3.4 长为l的细杆AB在Oxy平面内运动,vA的大小和-|||-方向已知,且知道vB的方向,如习题3.4图所示.求:-|||-(1)杆的角速度w及vB的大小;-|||-(2)杆上某点C的位置,vc刚好沿杆的方向.-|||-UB α2-|||-B-|||-y-|||-α1-|||-A vA-|||-习题3.4图

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查刚体平面运动的速度合成公式应用，以及如何利用速度方向条件确定特定点的位置。

解题核心思路：

  1. 刚体运动的速度关系：利用刚体平面运动中任意一点的速度由基点速度和角速度决定，即 $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{AB}$。
  2. 速度分解与方程联立：将速度分解到坐标轴，结合已知方向条件建立方程，联立求解角速度 $\omega$ 和速度大小 $v_B$。
  3. 点C的位置条件：通过速度方向沿杆的约束，建立方程求解点C的坐标。

破题关键点：

  • 向量积的方向处理：角速度 $\vec{\omega}$ 垂直于平面，与 $\vec{AB}$ 的向量积方向需注意坐标系的正交性。
  • 几何关系应用：瞬心法通过几何关系快速求解角速度，简化计算。

第（1）题：求角速度 $\omega$ 和 $v_B$ 的大小

建立速度关系式

根据刚体速度公式：
$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{AB}$
其中 $\vec{AB}$ 的长度为 $l$，方向沿杆（假设杆沿x轴方向）。

分解速度到坐标轴

  • x方向：
    $v_B \cos \alpha = v_A \cos \alpha_1$
    （刚性条件，方向一致）
  • y方向：
    $v_B \sin \alpha_2 = -v_A \sin \alpha_1 + \omega l$
    （向量积 $\vec{\omega} \times \vec{AB}$ 在y方向的分量为 $\omega l$）

联立方程求解

  1. 由x方向方程得：
    $v_B = \frac{v_A \cos \alpha_1}{\cos \alpha_2}$
  2. 将 $v_B$ 代入y方向方程，解得：
    $\omega = \frac{v_A}{l} \left( \sin \alpha_1 + \cos \alpha_1 \tan \alpha_2 \right)$

第（2）题：求点C的位置

速度方向约束

点C的速度 $\vec{v}_C$ 沿杆方向（即x轴方向），故其y分量为0：
$v_{C,y} = v_A \sin \alpha_1 - \omega x = 0$

联立求解坐标x

由 $\vec{v}_C = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{AC}$，得：
$x = \frac{v_A \sin \alpha_1}{\omega}$
进一步化简可得：
$x = \frac{l}{1 + \cot \alpha_1 \tan \alpha_2}$