求极限__-|||-lim _(xarrow -1)(dfrac (1)(x+1)-dfrac (3)({x)^3+1})

考查要点：本题主要考查分式极限的求解方法，特别是通过因式分解化简表达式的能力，以及处理$\frac{0}{0}$型不定式的技巧。

解题核心思路：

1. 因式分解：利用立方和公式分解分母$x^3 +1$，将其转化为$(x+1)(x^2 -x +1)$，为后续通分创造条件。
2. 通分合并：将两个分式合并为一个分式，通过分子化简消去公共因子$(x+1)$，从而消除分母为零的问题。
3. 代入求值：约分后直接代入$x = -1$计算极限。

破题关键点：

• 识别立方和公式：正确分解$x^3 +1$是关键的第一步。
• 分子因式分解：将分子$x^2 -x -2$分解为$(x+1)(x-2)$，为约分创造条件。

步骤1：分解分母
利用立方和公式：
$x^3 +1 = (x+1)(x^2 -x +1)$
将原式改写为：
$\lim _{x\rightarrow -1} \left( \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{3}{(x+1)(x^2 -x +1)} \right)$

步骤2：通分合并
以公分母$(x+1)(x^2 -x +1)$通分：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim _{x\rightarrow -1} \dfrac{x^2 -x +1 - 3}{(x+1)(x^2 -x +1)} \\&= \lim _{x\rightarrow -1} \dfrac{x^2 -x -2}{(x+1)(x^2 -x +1)}\end{aligned}$

步骤3：分子因式分解
将分子$x^2 -x -2$分解为：
$x^2 -x -2 = (x+1)(x-2)$
代入后表达式变为：
$\lim _{x\rightarrow -1} \dfrac{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x^2 -x +1)}$

步骤4：约分并代入
约去公共因子$(x+1)$（注意$x \neq -1$）：
$\lim _{x\rightarrow -1} \dfrac{x-2}{x^2 -x +1}$
代入$x = -1$：
$\dfrac{-1 -2}{(-1)^2 - (-1) +1} = \dfrac{-3}{3} = -1$