下列等式正确的是（ ）。A. lim _(x arrow 0) x sin (1)/(x) = 1B. lim _(x arrow 0) (x^2-1)/(3x^2)-x-1 = 1C. lim _(x arrow 0) (1+(1)/(x))^x = eD. lim _(x arrow 0) e^(1)/(x) = infty

我们逐项分析每个选项的极限是否正确。

选项 A：

$\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 1$

我们来分析这个极限。

首先，注意当 $ x \to 0 $ 时，$ \frac{1}{x} \to \infty $，所以 $ \sin\frac{1}{x} $ 在 $-1$ 和 $1$ 之间快速振荡，没有极限。

但是前面乘了一个 $ x \to 0 $。

我们可以使用夹逼定理：

因为 $ -1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1 $，所以：
$-|x| \leq x \sin\frac{1}{x} \leq |x|$
当 $ x \to 0 $ 时，左右两边都趋于 0，因此由夹逼定理：
$\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$

但选项 A 说极限是 1，错误。

选项 B：

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{3x^2 - x - 1} = 1$

我们直接代入 $ x = 0 $ 看看：

分子：$ 0^2 - 1 = -1 $

分母：$ 3(0)^2 - 0 - 1 = -1 $

所以：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{3x^2 - x - 1} = \frac{-1}{-1} = 1$

这个极限可以直接代入，因为分母在 $ x = 0 $ 处不为 0，函数在 $ x=0 $ 附近连续。

所以这个极限确实等于 1。

选项 B 正确。

选项 C：

$\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

我们分析这个极限。

注意：这个极限是 $ x \to 0 $，但 $ \frac{1}{x} \to \infty $ 或 $ -\infty $，取决于从哪边趋近。

先考虑 $ x \to 0^+ $：
此时 $ \frac{1}{x} \to +\infty $，所以 $ 1 + \frac{1}{x} \to +\infty $，而指数 $ x \to 0^+ $。

我们考虑形如 $ \infty^0 $ 型的不定式。

取对数：
设 $ y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $，则
$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = x \left[\ln(x+1) - \ln x\right]$

当 $ x \to 0^+ $，$ \ln(x+1) \to \ln 1 = 0 $，$ \ln x \to -\infty $，所以 $ \ln y \approx x (0 - (-\infty)) = x \cdot \infty $，但 $ x \to 0 $，是 $ 0 \cdot \infty $ 型。

更精确地：
$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x \ln\left(\frac{1+x}{x}\right) = x \left[ \ln(1+x) - \ln x \right] = x \ln(1+x) - x \ln x$

当 $ x \to 0^+ $：

• $ x \ln(1+x) \to 0 \cdot 0 = 0 $
• $ x \ln x \to 0 $（这是一个标准极限：$ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 $）

所以 $ \ln y \to 0 - 0 = 0 $，因此 $ y \to e^0 = 1 $

即：
$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = 1$

再看 $ x \to 0^- $：
此时 $ x $ 为负数，$ \frac{1}{x} \to -\infty $，所以 $ 1 + \frac{1}{x} \to -\infty $，底数为负，且指数为趋近 0 的负数。

但负数的实数次幂可能无定义（例如 $ (-2)^{0.1} $ 在实数范围内不一定有定义），所以当 $ x \to 0^- $ 时，表达式 $ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $ 在实数范围内不一定有定义，尤其当 $ x $ 为无理数或分母为偶数的分数时。

因此，左极限不存在（在实数范围内），所以整体极限 $ x \to 0 $ 不存在。

即使只考虑右极限，极限也是 1，不是 $ e $。

而 $ e $ 是：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
或
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$

所以选项 C 把极限写错了方向。

选项 C 错误。

选项 D：

$\lim_{x \to 0} e^{1/x} = \infty$

我们分析这个极限。

注意：$ x \to 0 $ 时，$ \frac{1}{x} $ 的极限取决于方向。

• 当 $ x \to 0^+ $，$ \frac{1}{x} \to +\infty $，所以 $ e^{1/x} \to +\infty $
• 当 $ x \to 0^- $，$ \frac{1}{x} \to -\infty $，所以 $ e^{1/x} \to 0 $

左右极限不相等，且一个趋于无穷，一个趋于 0。

因此，整体极限 $ x \to 0 $ 不存在。

而选项 D 说极限是 $ \infty $，这只有在 $ x \to 0^+ $ 时才成立，但题目是 $ x \to 0 $（双侧极限），所以不成立。

选项 D 错误。

结论：

只有 选项 B 正确。

答案：

$\boxed{B}$