题目
设f(x)在点 x=a 的某个邻域内有定义,则f(x)在 x=a 处设f(x)在点 x=a 的某个邻域内有定义,则f(x)在 x=a 处
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：分析选项 (A)
$\lim _{h\rightarrow +\infty }h[ f(a+\dfrac {1}{h})-f(a)] $ 存在，这个极限的定义域是 $h\rightarrow +\infty$，这与函数在 $x=a$ 处的可导性无关，因为可导性需要考虑的是 $h\rightarrow 0$ 的情况。
步骤 2：分析选项 (B)
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+2h)-f(a+h)}{h}$ 存在，这个极限可以被看作是 $f(x)$ 在 $x=a+h$ 处的导数的近似，但并不能直接说明 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性。
步骤 3：分析选项 (C)
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ 存在，这个极限是 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的对称差商，它存在可以说明 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性，但不是充分条件，因为还需要考虑单侧导数的存在性。
步骤 4：分析选项 (D)
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在，这个极限是 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的右导数，它存在可以说明 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性，因为右导数存在且等于左导数时，函数在该点可导。
$\lim _{h\rightarrow +\infty }h[ f(a+\dfrac {1}{h})-f(a)] $ 存在，这个极限的定义域是 $h\rightarrow +\infty$，这与函数在 $x=a$ 处的可导性无关，因为可导性需要考虑的是 $h\rightarrow 0$ 的情况。
步骤 2：分析选项 (B)
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+2h)-f(a+h)}{h}$ 存在，这个极限可以被看作是 $f(x)$ 在 $x=a+h$ 处的导数的近似，但并不能直接说明 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性。
步骤 3：分析选项 (C)
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ 存在，这个极限是 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的对称差商，它存在可以说明 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性，但不是充分条件，因为还需要考虑单侧导数的存在性。
步骤 4：分析选项 (D)
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在，这个极限是 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的右导数，它存在可以说明 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性，因为右导数存在且等于左导数时，函数在该点可导。