题目

一、单选题（共50题，100.0分） 1.（单选题，2.0分） 计算摆线{}x=1-cos ty=t-sin t.的一拱（0≤t≤2π）的弧长（） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4

一、单选题（共50题，100.0分） 1.（单选题，2.0分） 计算摆线$\left\{\begin{matrix}x=1-\cos t\\y=t-\sin t\end{matrix}\right.$的一拱（0≤t≤2π）的弧长（）
A. 6
B. 5
C. 8
D. 4

题目解答

答案

计算摆线 $\left\{\begin{matrix}x=1-\cos t\\y=t-\sin t\end{matrix}\right.$（$0 \leq t \leq 2\pi$）的弧长，使用参数曲线弧长公式： \[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \] 其中，$\frac{dx}{dt} = \sin t$，$\frac{dy}{dt} = 1 - \cos t$。代入得： \[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + (1 - \cos t)^2} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos t} \, dt \] 利用恒等式 $2 - 2\cos t = 4\sin^2 \frac{t}{2}$，化简为： \[ L = \int_0^{2\pi} 2\left|\sin \frac{t}{2}\right| \, dt \] 由于 $\sin \frac{t}{2} \geq 0$ 在 $[0, 2\pi]$ 内，积分变为： \[ L = 2 \int_0^{2\pi} \sin \frac{t}{2} \, dt = 4 \int_0^{\pi} \sin u \, du = 4 \left[ -\cos u \right]_0^{\pi} = 4 \times 2 = 8 \] **答案：** $\boxed{C}$

解析

本题考查参数方程下曲线弧长的计算。解题思路是先根据参数方程求出$x$和$y$关于参数$t$的导数，然后代入参数曲线弧长公式，再对得到的积分进行化简和计算。

  1. 求$x$和$y$关于$t$的导数：
    已知摆线的参数方程为$\begin{cases}x = 1 - \cos t\\y = t - \sin t\end{cases}$，对$x$求导，根据求导公式$(\cos t)^\prime=-\sin t$，常数的导数为$0$，可得$\frac{dx}{dt}=(1 - \cos t)^\prime=\sin t$。
    对$y$求导，根据求导公式$(t)^\prime = 1$，$(\sin t)^\prime=\cos t$，可得$\frac{dy}{dt}=(t - \sin t)^\prime=1 - \cos t$。
  2. 代入弧长公式：
    参数曲线弧长公式为$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$，其中$\alpha$和$\beta$是参数$t$的取值范围，本题中$\alpha = 0$，$\beta = 2\pi$。
    将$\frac{dx}{dt}=\sin t$，$\frac{dy}{dt}=1 - \cos t$代入弧长公式，可得：
    $L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + (1 - \cos t)^2} dt$
  3. 化简被积函数：
    对$\sin^2 t + (1 - \cos t)^2$进行展开化简：
    $\begin{align*}\sin^2 t + (1 - \cos t)^2&=\sin^2 t + 1 - 2\cos t + \cos^2 t\\&=(\sin^2 t + \cos^2 t) + 1 - 2\cos t\end{align*}$
    根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，可得：
    $\sin^2 t + (1 - \cos t)^2=1 + 1 - 2\cos t=2 - 2\cos t$
    再利用二倍角公式$\cos t = 1 - 2\sin^2\frac{t}{2}$，则$2 - 2\cos t = 2 - 2(1 - 2\sin^2\frac{t}{2}) = 4\sin^2\frac{t}{2}$。
    所以$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} dt = \int_{0}^{2\pi} 2\left|\sin\frac{t}{2}\right| dt$。
  4. 去掉绝对值符号并计算积分：
    当$0\leq t\leq 2\pi$时，$0\leq\frac{t}{2}\leq\pi$，在这个区间内$\sin\frac{t}{2}\geq0$，所以$\left|\sin\frac{t}{2}\right| = \sin\frac{t}{2}$。
    则$L = 2\int_{0}^{2\pi} \sin\frac{t}{2} dt$，令$u = \frac{t}{2}$，则$dt = 2du$。
    当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = 2\pi$时，$u = \pi$。
    所以$L = 2\int_{0}^{\pi} \sin u\cdot 2du = 4\int_{0}^{\pi} \sin u du$。
    根据积分公式$\int\sin u du = -\cos u + C$，可得：
    $L = 4[-\cos u]_0^{\pi}=4(-\cos\pi - (-\cos0)) = 4(1 + 1) = 8$