题目

【例2】设X_(1),X_(2),...,X_(n),...为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ,(λ>0)的指数分布，记Φ(x)为标准正态分布函数，则（）A. lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-nlambda)/(lambdasqrt(n))leq x}=Phi(x)B. lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-nlambda)/(sqrt(nlambda))leq x}=Phi(x)C. lim_(ntoinfty)P(lambdasum_{i=1)^nX_(i)-n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x)D. lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-lambda)/(sqrt(nlambda))leq x}=Phi(x)

【例2】设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ,(λ>0)的指数分布，记Φ(x)为标准正态分布函数，则（）

A. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\lambda}{\lambda\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$

B. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\right\}=\Phi(x)$

C. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\lambda\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$

D. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\right\}=\Phi(x)$

题目解答

答案

C. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\lambda\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$

解析

考查要点：本题主要考查中心极限定理在独立同分布指数随机变量序列中的应用，以及对标准化形式的理解。

解题核心思路：

  1. 指数分布的期望与方差：指数分布参数为$\lambda$时，期望$E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$，方差$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$。
  2. 中心极限定理：当$n$趋近于无穷时，标准化后的样本和$\frac{S_n - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}}$趋近于标准正态分布。
  3. 标准化形式匹配：将选项中的表达式与中心极限定理的标准形式对比，判断是否符合。

破题关键点：

  • 正确计算标准化分母：分母应为$\sqrt{nD(X_i)} = \sqrt{\frac{n}{\lambda^2}} = \frac{\sqrt{n}}{\lambda}$。
  • 分子调整：分子需为$\sum X_i - nE(X_i) = \sum X_i - \frac{n}{\lambda}$，通过变形匹配选项形式。

根据中心极限定理，独立同分布的随机变量序列$\{X_i\}$的和$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$满足：
$\frac{S_n - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}} \xrightarrow{d} N(0,1).$

具体步骤：

  1. 计算期望与方差：
    指数分布参数为$\lambda$，故$E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$，$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$。
  2. 标准化形式推导：
    代入中心极限定理得：
    $\frac{S_n - \frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^2}}} = \frac{\lambda S_n - n}{\sqrt{n}}.$
  3. 选项匹配：
    • 选项C的表达式$\frac{\lambda \sum X_i - n}{\sqrt{n}}$与推导结果一致，符合标准正态收敛形式。
    • 其他选项的分子或分母与推导结果不符（如选项A分子错误，选项B分母错误）。