证明对任意常数 lt b, 都有 sin b-sin aleqslant b-a.

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = \sin x$，该函数在区间 $[a, b]$ 上是连续的，并且在区间 $(a, b)$ 上是可导的。

步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么存在至少一个 $\xi \in (a, b)$，使得
$$
f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$
对于函数 $f(x) = \sin x$，我们有
$$
f'(x) = \cos x
$$
因此，存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$
\cos \xi = \frac{\sin b - \sin a}{b - a}
$$

步骤 3：利用余弦函数的性质
由于 $\cos \xi \leqslant 1$ 对于所有 $\xi \in (a, b)$ 成立，我们有
$$
\frac{\sin b - \sin a}{b - a} \leqslant 1
$$
从而
$$
\sin b - \sin a \leqslant b - a
$$