某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为(d)/(4)，重力加速度为g，忽略空气阻力。（1）绳能承受的最大拉力是多少？（2）保持手的高度不变，改变绳长，使重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？

考查要点：本题综合考查圆周运动的向心力公式、平抛运动规律及数学极值问题。
解题思路：

1. 第一问：
   • 关键点：在最低点，绳子拉力提供向心力和重力的合力。
   • 核心步骤：
     1. 由牛顿第二定律列向心力方程；
     2. 利用平抛运动规律求出绳断瞬间的速度；
     3. 联立方程求最大拉力。
2. 第二问：
   • 关键点：平抛的水平距离与绳长相关，需通过数学方法求极值。
   • 核心步骤：
     1. 用向心力公式表示平抛初速度；
     2. 结合平抛运动时间与位移关系，建立水平距离表达式；
     3. 通过配方法或导数求最大值对应的绳长。

第（1）题

确定圆周运动半径

绳长为$\frac{d}{4}$，圆周运动半径$R = \frac{d}{4}$。

向心力方程

在最低点，绳子拉力$F_m$与重力$mg$的合力提供向心力：
$F_m - mg = m \frac{v_1^2}{R}$

平抛运动分析

绳断后，小球以速度$v_1$做平抛运动：

• 竖直方向：下落高度$h = d - R = \frac{3}{4}d$，由$h = \frac{1}{2}gt^2$得时间$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{3d}{2g}}$。
• 水平方向：水平距离$d = v_1 t$，解得$v_1 = \frac{d}{t} = \sqrt{\frac{2gd}{3}}$。

联立求最大拉力

将$v_1$代入向心力方程：
$F_m = mg + m \frac{\left(\sqrt{\frac{2gd}{3}}\right)^2}{\frac{d}{4}} = mg + m \cdot \frac{\frac{2gd}{3}}{\frac{d}{4}} = mg + \frac{8mg}{3} = \frac{11}{3}mg$

第（2）题

向心力方程

设绳长为$l$，绳断时速度为$v_2$，由向心力公式：
$F_m - mg = m \frac{v_2^2}{l}$
代入$F_m = \frac{11}{3}mg$，解得：
$v_2 = \sqrt{\frac{8gl}{3}}$

平抛运动分析

绳断后，小球下落高度$h' = d - l$，平抛时间$t_2 = \sqrt{\frac{2(d - l)}{g}}$，水平距离：
$x = v_2 t_2 = \sqrt{\frac{8gl}{3}} \cdot \sqrt{\frac{2(d - l)}{g}} = 4 \sqrt{\frac{l(d - l)}{3}}$

求最大值

将$x$表达式变形为：
$x = 4 \sqrt{\frac{-\left(l - \frac{d}{2}\right)^2 + \frac{d^2}{4}}{3}}$
当$l = \frac{d}{2}$时，$x$取得最大值：
$x_{\text{max}} = 4 \sqrt{\frac{\frac{d^2}{4}}{3}} = \frac{2\sqrt{3}d}{3}$