题目
设 A, B 是 n 阶方阵，下列说法错误的是（）A 若 A, B 都可逆，则 A^*B^* 也可逆B 若 A, B 都是实对称正定矩阵，则 A+B^-1 也是实对称正定矩阵C 若 A, B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵D 若 A, B 都是实对称矩阵，则 AB 是实对称矩阵
设 A, B 是 n 阶方阵，下列说法错误的是（） A 若 A, B 都可逆，则 $A^*B^*$ 也可逆 B 若 A, B 都是实对称正定矩阵，则 $A+B^{-1}$ 也是实对称正定矩阵 C 若 A, B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵 D 若 A, B 都是实对称矩阵，则 AB 是实对称矩阵
题目解答
答案
我们来逐个分析选项，找出其中**错误的说法**。
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### 题设条件：
- $ A, B $ 是 $ n $ 阶方阵。
- 各选项分别给出了 A、B 的某些性质，并判断某种运算后的矩阵是否具有某种性质。
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## 选项 A：
**若 A, B 都可逆，则 $ A^*B^* $ 也可逆**
- $ A^* $ 表示 A 的**伴随矩阵**（Adjugate Matrix）。
- 伴随矩阵的性质是：
$$
A A^* = A^* A = |A| I
$$
所以若 $ A $ 可逆（即 $ |A| \ne 0 $），则 $ A^* $ 也可逆。
- 同理，若 $ B $ 可逆，则 $ B^* $ 也可逆。
- 所以 $ A^*B^* $ 是两个可逆矩阵的乘积，仍然可逆。
✅ **正确**。
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## 选项 B：
**若 A, B 都是实对称正定矩阵，则 $ A + B^{-1} $ 也是实对称正定矩阵**
- 实对称正定矩阵的性质：
- 实对称 ⇒ 所有特征值为实数；
- 正定 ⇒ 所有特征值 > 0；
- $ B^{-1} $ 也仍然是实对称正定矩阵（因为正定矩阵的逆也是正定矩阵）。
- 实对称矩阵的和仍然是实对称矩阵；
- 正定矩阵的和仍然是正定矩阵（因为正定矩阵的特征值都大于0，相加后特征值也大于0）；
- 所以 $ A + B^{-1} $ 是实对称正定矩阵。
✅ **正确**。
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## 选项 C：
**若 A, B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵**
- 正交矩阵的定义是：
$$
A^T A = I \Rightarrow A^{-1} = A^T
$$
- 正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵：
$$
(AB)^T (AB) = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I
$$
所以 $ AB $ 也是正交矩阵。
✅ **正确**。
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## 选项 D：
**若 A, B 都是实对称矩阵，则 AB 是实对称矩阵**
- 实对称矩阵的乘积**不一定是**实对称矩阵。
- 举个反例即可说明这个结论错误。
### 反例：
设
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
$$
- A 和 B 都是实对称矩阵；
- 计算 AB：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}
$$
- 显然，$ AB \ne (AB)^T $，所以 AB 不是对称矩阵。
❌ **错误**。
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## ✅ 正确答案是：
$$
\boxed{D}
$$
解析
本题考查矩阵运算的性质，需判断四个选项中哪一个是错误的。关键点在于：
- 伴随矩阵与可逆性的关系；
- 实对称正定矩阵的运算封闭性；
- 正交矩阵的乘积性质；
- 实对称矩阵乘积的对称性。
破题关键在于理解各选项中矩阵类别的运算特性，尤其注意实对称矩阵的乘积不一定保持对称性，需通过反例验证。
选项 A
- 伴随矩阵性质：若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 可逆，且 $(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A$。
- $A^*$ 和 $B^*$ 均可逆，故 $A^*B^*$ 可逆。
- 结论：正确。
选项 B
- 实对称正定矩阵性质：正定矩阵的逆矩阵仍为正定矩阵，且实对称矩阵的和仍为实对称矩阵。
- $A$ 和 $B^{-1}$ 均为实对称正定矩阵，故 $A + B^{-1}$ 也是实对称正定矩阵。
- 结论：正确。
选项 C
- 正交矩阵性质：若 $A, B$ 正交，则 $(AB)^T(AB) = B^T A^T A B = B^T B = I$，故 $AB$ 正交。
- 结论：正确。
选项 D
- 反例验证：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，均为实对称矩阵。
- 计算 $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$，其转置为 $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \neq AB$，故 $AB$ 不对称。
- 结论：错误。