题目
计算下列对坐标的曲线积分:-|||-(3) int ydx+xdy ,其中L为圆周 =Rcos t ,=Rsin t 上对应t从0到 dfrac (pi )(2) 的一段弧;
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
给定的曲线L是圆周的一部分，参数化为 $x=R\cos t$ 和 $y=R\sin t$，其中t从0到 $\dfrac {\pi }{2}$。这意味着曲线L是圆周上从点(1,0)到点(0,1)的一段弧。
步骤 2：计算dx和dy
根据参数化，我们有 $dx=-R\sin t dt$ 和 $dy=R\cos t dt$。这是因为 $x=R\cos t$ 和 $y=R\sin t$，所以 $dx/dt=-R\sin t$ 和 $dy/dt=R\cos t$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $ydx+xdy$ 代入积分中，得到 $\int ydx+xdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (R\sin t)(-R\sin t dt) + (R\cos t)(R\cos t dt)$。这可以简化为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -R^2\sin^2 t dt + R^2\cos^2 t dt$。利用三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，可以进一步简化为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2(\cos^2 t - \sin^2 t) dt$。利用二倍角公式 $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$，积分变为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2\cos 2t dt$。计算这个积分，得到 $R^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t dt = R^2[\frac{1}{2}\sin 2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = R^2[\frac{1}{2}\sin \pi - \frac{1}{2}\sin 0] = R^2[0 - 0] = 0$。
给定的曲线L是圆周的一部分，参数化为 $x=R\cos t$ 和 $y=R\sin t$，其中t从0到 $\dfrac {\pi }{2}$。这意味着曲线L是圆周上从点(1,0)到点(0,1)的一段弧。
步骤 2：计算dx和dy
根据参数化，我们有 $dx=-R\sin t dt$ 和 $dy=R\cos t dt$。这是因为 $x=R\cos t$ 和 $y=R\sin t$，所以 $dx/dt=-R\sin t$ 和 $dy/dt=R\cos t$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $ydx+xdy$ 代入积分中，得到 $\int ydx+xdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (R\sin t)(-R\sin t dt) + (R\cos t)(R\cos t dt)$。这可以简化为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -R^2\sin^2 t dt + R^2\cos^2 t dt$。利用三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，可以进一步简化为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2(\cos^2 t - \sin^2 t) dt$。利用二倍角公式 $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$，积分变为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2\cos 2t dt$。计算这个积分，得到 $R^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t dt = R^2[\frac{1}{2}\sin 2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = R^2[\frac{1}{2}\sin \pi - \frac{1}{2}\sin 0] = R^2[0 - 0] = 0$。