2.求极限lim_(xto0)((1^x+2^x+...+n^x)/(n))^(1)/(x).
题目解答
答案
设 $ y = \left( \frac{1^x + 2^x + \cdots + n^x}{n} \right)^{\frac{1}{x}} $，取对数得
$\ln y = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1^x + 2^x + \cdots + n^x}{n} \right).$
当 $ x \to 0 $ 时，$ k^x \to 1 $（$ k = 1, 2, \ldots, n $），故
$\frac{1^x + 2^x + \cdots + n^x}{n} \to 1.$
利用等价无穷小 $ \ln(1+u) \sim u $（$ u \to 0 $），有
$\ln y \sim \frac{1}{x} \left( \frac{1^x + 2^x + \cdots + n^x}{n} - 1 \right).$
化简得
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{1^x + 2^x + \cdots + n^x - n}{nx} = \frac{\ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n}{n} = \frac{\ln(n!)}{n}.$
因此，
$\lim_{x \to 0} y = e^{\frac{\ln(n!)}{n}} = (n!)^{1/n}.$
答案： $\boxed{(n!)^{1/n}}$（或$\boxed{\sqrt[n]{n!}}$）
解析
本题考查的知识点是利用对数恒等式、等价无穷小以及洛必达法则来求解幂指函数的极限。解题的整体思路是先通过对数恒等式将幂指函数转化为指数形式，再对指数部分求极限，最后根据指数函数的连续性得到原函数的极限。
- 设函数并取对数：
设$y = \left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$，根据对数恒等式$a = e^{\ln a}$，可得$y = e^{\ln y}$，其中$\ln y=\frac{1}{x}\ln\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}}{n}\right)$。 - 分析$x\to0$时的极限情况：
当$x\to0$时，对于$k = 1,2,\cdots,n$，根据指数函数的连续性，$k^{x}\to1$，那么$\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}}{n}\to\frac{1 + 1+\cdots+1}{n}=1$。 - 利用等价无穷小替换：
因为当$u\to0$时，$\ln(1 + u)\sim u$，此时$u=\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}}{n}-1\to0$（当$x\to0$），所以$\ln y\sim\frac{1}{x}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}}{n}-1\right)$。 - 化简并求$\lim_{x\to0}\ln y$：
$\lim_{x\to0}\ln y=\lim_{x\to0}\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}-n}{nx}$，此极限为$\frac{0}{0}$型，可使用洛必达法则。
对分子分母分别求导，根据求导公式$(a^{x})^\prime=a^{x}\ln a$，可得：
$\lim_{x\to0}\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots +n^{x}-n}{nx}=\lim_{x\to0}\frac{1^{x}\ln1 + 2^{x}\ln2+\cdots +n^{x}\ln n}{n}$
将$x = 0$代入上式，因为$1^{0}=1$，$2^{0}=1,\cdots,n^{0}=1$，所以$\lim_{x\to0}\frac{1^{x}\ln1 + 2^{x}\ln2+\cdots +n^{x}\ln n}{n}=\frac{\ln1+\ln2+\cdots+\ln n}{n}$。
根据对数运算法则$\ln a+\ln b=\ln(ab)$，则$\frac{\ln1+\ln2+\cdots+\ln n}{n}=\frac{\ln(n!)}{n}$。 - 求原极限$\lim_{x\to0}y$：
因为$y = e^{\ln y}$，且指数函数$y = e^{u}$是连续函数，根据连续函数的性质$\lim_{x\to x_0}e^{u(x)}=e^{\lim_{x\to x_0}u(x)}$，所以$\lim_{x\to0}y = e^{\lim_{x\to0}\ln y}=e^{\frac{\ln(n!)}{n}}=(n!)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{n!}$。