求函数f(x,y)=xy在点(2,3)处沿从点(2,3)到点(3,3+sqrt (3))的方向的方向导数.

步骤 1：确定方向向量
从点(2,3)到点$(3,3+\sqrt {3})$的方向向量为$\vec{i} = \{3-2, 3+\sqrt{3}-3\} = \{1, \sqrt{3}\}$。

步骤 2：计算偏导数
函数$f(x,y)=xy$的偏导数为$\frac{\partial f}{\partial x}=y$和$\frac{\partial f}{\partial y}=x$。

步骤 3：计算方向导数
方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}$由公式$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \cos \beta$给出，其中$\cos \alpha$和$\cos \beta$分别是方向向量$\vec{i}$在x轴和y轴上的单位分量。方向向量$\vec{i} = \{1, \sqrt{3}\}$的单位向量为$\{\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\}$，因此$\cos \alpha = \frac{1}{2}$，$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。将偏导数和单位向量代入公式，得到$\frac{\partial f}{\partial l} = y\cdot \frac{1}{2} + x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$。

步骤 4：计算在点(2,3)处的方向导数
将点(2,3)的坐标代入方向导数的表达式，得到$\frac{\partial f}{\partial l} = 3\cdot \frac{1}{2} + 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{3}$。