1/20 单选题（5分） （）.I=int_(-1)^1x^2(1+sin^3x)dx=A. -1B. 1C. (1)/(3)D. (2)/(3)

考查要点：本题主要考查定积分的对称性，特别是奇偶函数在对称区间上的积分性质。

解题核心思路：

1. 拆分被积函数：将被积函数分解为偶函数部分和奇函数部分。
2. 利用对称性简化计算：奇函数在对称区间$[-a,a]$上的积分结果为$0$，偶函数的积分可转化为$2$倍的$[0,a]$区间积分。
3. 直接计算剩余部分：仅需计算偶函数部分的积分即可得到最终结果。

破题关键点：

• 识别奇偶性：正确判断$x^2$和$\sin^3x$的奇偶性，进而拆分被积函数。
• 简化积分：利用对称性直接排除奇函数部分的积分，减少计算量。

步骤1：拆分被积函数
被积函数为$x^2(1+\sin^3x)$，可拆分为两部分：
$x^2 \cdot 1 \quad \text{（偶函数）} \quad \text{和} \quad x^2 \cdot \sin^3x \quad \text{（奇函数）}.$

步骤2：利用对称性简化积分

• 奇函数部分积分：$\int_{-1}^{1} x^2 \sin^3x \, dx = 0$（奇函数在对称区间积分结果为$0$）。
• 偶函数部分积分：$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx$（偶函数积分可简化为$2$倍的半区间积分）。

步骤3：计算剩余积分
计算$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$：
$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}.$
因此，原积分结果为：
$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$