12.求积分int_(C)(1)/(z+2)dz的值，其中C:|z|=1，并由此证明int_(0)^pi(1+2costheta)/(5+4costheta)dtheta=0.

考查要点：本题主要考查复变函数的积分计算及实积分的转化方法，涉及柯西积分定理、参数化方法以及奇偶函数的积分性质。

解题核心思路：

1. 复积分计算：利用柯西积分定理判断被积函数在积分路径内的解析性，直接得出积分结果。
2. 参数化与实积分转化：将复积分转化为关于$\theta$的实积分，分离实部和虚部。
3. 奇偶性分析：通过被积函数的奇偶性简化积分区间，结合对称性得出最终结果。

破题关键点：

• 判断奇点位置：确定被积函数$\frac{1}{z+2}$的奇点是否在积分路径$|z|=1$内。
• 参数化技巧：将复积分路径$|z|=1$参数化为$z=e^{i\theta}$，将复积分转化为实积分。
• 奇偶性应用：利用$\sin\theta$和$\cos\theta$的奇偶性简化积分表达式。

第（1）题：计算复积分$\int_{C}\frac{1}{z+2}dz$

判断奇点位置

被积函数$\frac{1}{z+2}$的奇点为$z=-2$，而积分路径$C:|z|=1$的半径为1，中心在原点。显然，$|z|=1$内的所有点满足$|z| \leq 1$，而$|-2|=2 > 1$，因此奇点$z=-2$在路径外。

应用柯西积分定理

由于被积函数在$|z|=1$内解析，根据柯西积分定理，积分结果为0：
$\int_{C}\frac{1}{z+2}dz = 0.$

第（2）题：证明$\int_{0}^{\pi}\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}d\theta=0$

参数化复积分

将路径$C$参数化为$z=e^{i\theta}$（$\theta$从$0$到$2\pi$），则$dz=ie^{i\theta}d\theta$。代入复积分得：
$\int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}+2} d\theta = 0.$

分离实部与虚部

将分子和分母展开为三角函数形式：
$\frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}+2} = \frac{i(\cos\theta + i\sin\theta)}{(2+\cos\theta) + i\sin\theta}.$
通过有理化分母，分离实部和虚部后，积分可分解为：
$i \int_{0}^{2\pi} \frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta} d\theta - 2 \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta}{5+4\cos\theta} d\theta = 0.$

利用奇偶性简化积分

1. 虚部积分：$\frac{\sin\theta}{5+4\cos\theta}$是奇函数，积分区间$[0, 2\pi]$对称，故虚部积分为0。
2. 实部积分：$\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}$是偶函数，积分区间可简化为：
   $\int_{0}^{2\pi} \frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta} d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta} d\theta.$
   结合复积分结果为0，得：
   $2 \int_{0}^{\pi} \frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta} d\theta = 0 \implies \int_{0}^{\pi} \frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta} d\theta = 0.$