题目
若 gt 1, 则 +dfrac (1)(a-1) 的最小值是 () .-|||-A.2 B.a-|||-C. sqrt (dfrac {a)(a-1)} D. 3
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
令 $t = a - 1$，因为 $a > 1$，所以 $t > 0$。
步骤 2：表达式转换
将 $a$ 用 $t$ 表示，得到 $a = t + 1$，代入原式得到 $u = a + \dfrac{1}{a-1} = t + \dfrac{1}{t} + 1$。
步骤 3：应用均值不等式
根据均值不等式，$t + \dfrac{1}{t} \geq 2$，当且仅当 $t = 1$ 时取等号。因此，$u = t + \dfrac{1}{t} + 1 \geq 3$，当且仅当 $t = 1$ 时取等号。
令 $t = a - 1$，因为 $a > 1$，所以 $t > 0$。
步骤 2：表达式转换
将 $a$ 用 $t$ 表示，得到 $a = t + 1$，代入原式得到 $u = a + \dfrac{1}{a-1} = t + \dfrac{1}{t} + 1$。
步骤 3：应用均值不等式
根据均值不等式，$t + \dfrac{1}{t} \geq 2$，当且仅当 $t = 1$ 时取等号。因此，$u = t + \dfrac{1}{t} + 1 \geq 3$，当且仅当 $t = 1$ 时取等号。