题目
4.航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K.E. Tsiolkovsky) 于1903年给出火箭最大速度-|||-的计算公式 =(v)_(0)ln (1+dfrac (M)({m)_(0)}). 其中,V0是燃料相对于火箭的喷射速度,M是燃料的质量,m0-|||-是火箭(除去燃料)的质量,v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知 _(0)=2km/s, 则当火-|||-箭的最大速度v可达到 10km/s 时,火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的-|||-() 倍-|||-A.e^5 B. ^5-1 C.e^6 D. ^6-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解公式
根据题目给出的公式 $v={v}_{0}\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}})$，其中 $v$ 是火箭的最大速度，$v_0$ 是燃料相对于火箭的喷射速度，$M$ 是燃料的质量，$m_0$ 是火箭（除去燃料）的质量。
步骤 2：代入已知条件
题目中已知 $v_0 = 2km/s$，$v = 10km/s$，代入公式得到 $10 = 2\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}})$。
步骤 3：求解
将 $10 = 2\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}})$ 转化为 $\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}}) = 5$，即 $1+\dfrac {M}{{m}_{0}} = e^5$，从而得到 $\dfrac {M}{{m}_{0}} = e^5 - 1$。
步骤 4：计算火箭总质量
火箭的总质量（含燃料）为 $M + m_0$，根据 $\dfrac {M}{{m}_{0}} = e^5 - 1$，可以得到火箭的总质量至少是火箭（除去燃料）的质量的 $e^5$ 倍。
根据题目给出的公式 $v={v}_{0}\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}})$，其中 $v$ 是火箭的最大速度，$v_0$ 是燃料相对于火箭的喷射速度，$M$ 是燃料的质量，$m_0$ 是火箭（除去燃料）的质量。
步骤 2：代入已知条件
题目中已知 $v_0 = 2km/s$，$v = 10km/s$，代入公式得到 $10 = 2\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}})$。
步骤 3：求解
将 $10 = 2\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}})$ 转化为 $\ln (1+\dfrac {M}{{m}_{0}}) = 5$，即 $1+\dfrac {M}{{m}_{0}} = e^5$，从而得到 $\dfrac {M}{{m}_{0}} = e^5 - 1$。
步骤 4：计算火箭总质量
火箭的总质量（含燃料）为 $M + m_0$，根据 $\dfrac {M}{{m}_{0}} = e^5 - 1$，可以得到火箭的总质量至少是火箭（除去燃料）的质量的 $e^5$ 倍。