设lim _(x arrow 0)(1+x+(f(x))/(x))^(1)/(x)=e^3，则lim _(x arrow 0)(1+(f(x))/(x))^(1)/(x)=______

本题主要考查重要极限$\lim\limits_{u \to 0}(1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$以及等价无穷小的应用。解题的关键思路是通过对已知极限式子取对数，利用等价无穷小简化式子，求出$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}$的值，再用同样的方法处理所求极限式子。

1. 对已知极限式子取对数并化简：
   已知$\lim\limits_{x \to 0}\left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^3$，根据对数的性质$a = e^{\ln a}$，对等式两边取自然对数可得：
   $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln\left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right) = \ln\left(\lim\limits_{x \to 0}\left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\ln e^3 = 3$
   当$u \to 0$时，等价无穷小$\ln(1 + u) \sim u$。因为当$x \to 0$时，$x + \frac{f(x)}{x} \to 0$，所以$\ln\left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right) \sim x + \frac{f(x)}{x}$，则有：
   $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x}\left(x + \frac{f(x)}{x}\right) = 3$
   将上式展开可得：
   $\lim\limits_{x \to 0}\left(1 + \frac{f(x)}{x^2}\right) = 3$
   根据极限的四则运算法则，可得：
   $\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2} = 3 - 1 = 2$
2. 对所求极限式子取对数并化简：
   设$\lim\limits_{x \to 0}\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = M$，同样对等式两边取自然对数可得：
   $\ln M = \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)$
   当$x \to 0$时，$\frac{f(x)}{x} \to 0$，根据等价无穷小$\ln(1 + u) \sim u$，可得$\ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right) \sim \frac{f(x)}{x}$，则有：
   $\ln M \sim \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}$
   由步骤1可知$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2} = 2$，所以$\ln M = 2$。
3. 求出所求极限的值：
   因为$\ln M = 2$，根据对数与指数的关系$M = e^{\ln M}$，可得$M = e^2$，即$\lim\limits_{x \to 0}\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^2$。